Page 69 - Giáo trình Giải tích

= ∬ = ∬ √ − −
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
= ∫ ∫ √ − = .
3
0 0
2
2
2
2
2
2
Trên S 2 ta có = −√ − − , D: x +y ≤R .
= ∬ = − ∬ −√ − −
2
2
2
2
1
2
2
3
2
2
= ∫ ∫ √ − = .
3
0 0
4
Vậy, = .
3
3
c) Định lý Gauss – Ostrogratski
Cho  là miền đóng bị chặn trong không gian với biên là mặt S trơn từng khúc
(S có thể chia thành hữu hạn mặt trơn). Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) có các đạo
hàm riêng cấp một liên tục trong miền mở chứa . Khi đó ta có công thức Gauss-
Ostrogratski:

∬ + + = ∭ ( + + ) (2.63)

Ù
Lưu ý: Nhờ công thức Gauss- Ostrogratski, ta có thể tính thể tích bằng cách
tính tích phân mặt nếu lấy P=x, Q=y, R=z. Khi đó công thức trên trở thành

∬ + + = 3 ∭ = 3

Ù

Suy ra,

1
= ∬ + + .
3

Với S là mặt bên của  lấy theo phía ngoài.
Ví dụ 2.29:

3
3
3
Tính tích phân = ∬ + + , trong đó S là phía

2
2
2
2
ngoài mặt cầu: x +y +z =R .
Giải:
Theo công thức Gauss-Ostrogratski, ta có:

68