Page 57 - Giáo trình Giải tích

Toán học đã định nghĩa cho khái niệm này là tích phân đường loại hai của hai
hàm P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB từ A đến B.
Từ bài toán này tích phân đường loại 2 còn gọi là tích phân công, dù trong
thực tế còn nhiều bài toán khác dẫn đến tìm giới hạn và dẫn đến tìm tích phân đường
loại 2.

a) Định nghĩa, tính chất
Định nghĩa 2.4. Cho hai hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên đường L từ A đến B.
Chia AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau bởi các điểm chia: A=A o,
lên 2 trục Ox,
là ∆s i, hình chiếu của
A 1,…, A n=B. Gọi độ dài cung ̂ ̂
−1
−1
lấy điểm M i( i, i) tùy ý và lập tổng:
Oy theo thứ tự là x i, y i. Trên cung ̂
−1
n
I n =  [P(ξ i η , i ) Δx i + Q(ξ i η , i ) Δy i ]
i =1
Nếu khi n→ sao cho maxx i→0 và maxy i→0 mà I n dần tới một giới hạn xác
định I, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách lấy điểm M i thì I được gọi
là tích phân đường loại hai của hai hàm P(x,y), Q(x,y) dọc theo cung AB, ký hiệu

∫ ( , ) + ( , ) . Như vậy,

∫ ( , ) + ( , ) = lim ∑( ( , )Δ + ( , )Δ )

∆ →0

∆ →0 =1

Chú ý:
i) Nếu cung AB trơn và P(x,y), Q(x,y) liên tục trên cung AB thì tồn tại tích
phân đường loại hai.
ii) Tích phân đường loại hai sẽ đổi dấu nếu ta đổi chiều trên đường lấy tích
phân (vì hình chiếu của A i− 1 A lên 2 trục Ox, Oy bị đổi dấu).
i
 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB BA
iii) Nếu L là đường cong kín, tích phân mặc nhiên quy ước chọn chiều dương
trên L (là chiều sao cho 1 người đi dọc theo chiều ấy sẽ thấy phía trong của miền
giới hạn bởi L gần mình nhất ở về bên trái, chiều ngược lại là chiều âm). Thông
thường ta ký hiệu tích phân đường loại hai dọc theo đường cong kín L theo chiều
dương là:

∮ + .

Tính chất: Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự tính chất của tích
phân xác định.

b) Cách tính
Với cung AB trơn và được cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t),
mút A ứng với trị t A, mút B ứng với trị t B. Khi đó ta có công thức tính tích phân đường
loại hai
t B

 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = [P(x(t), y(t))x' (t) + Q(x(t), y(t))y' (t)]dt (2.45)
AB t A
56