Page 52 - Giáo trình Giải tích

= ∑ ( )∆ ,

=1
(I n được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trên cung AB) nếu khi n →  sao cho
maxs i→0 mà I n dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia
cung AB và cách lấy điểm M i trên cung A i-1A i thì I được gọi là tích phân đường loại
một của hàm f(x,y) dọc theo AB.

Ký hiệu: ∫ ( , ) hay ∫ ( , ) .

Như vậy,

∫ ( , ) = lim ∑ ( , )∆ (2.37)

∆ →0

=1
Cung AB được cho bởi phương trình y = f(x), với x 1 x x 2 được gọi là trơn
nếu hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [x 1,x 2]. (Hàm số có đạo hàm liên tục gọi là

1
hàm thuộc lớp C ).
Cung AB được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 được
gọi là trơn nếu hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [t 1,t 2].
Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn cung trơn.
Chú ý:
i) Nếu tồn tại tích phân (2.35) ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB.
ii) Nếu cung AB trơn (có thể trơn từng khúc) và f(x,y) liên tục trên cung AB
thì tồn tại tích phân đường loại 1 của hàm f trên cung AB.
iii) Nếu L là đường cong kín thì ta ký hiệu tích phân đường loại một
∮ ( , ) .
iv) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều trên cung AB, nghĩa là

∫ ( , ) = ∫ ( , ) .

v) Ý nghĩa cơ học
Nếu cung AB có khối lượng riêng tại M(x,y) là (x,y) thì khối lượng của cung

AB là = ∫ ( , ) .

Trong trường hợp nếu (x,y) = 1, (x,y)  cung AB thì ∫ chính là chiều

dài dây cung AB.
Tính chất:
Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự tính chất tích phân xác
định nên ta không cần thiết nêu ở đây.
b) Cách tính
Trong các bài toán tích phân, dùng định nghĩa để tính sẽ là một thách thức rất
lớn, do đó người ta đưa về các công thức đơn giản để tính.
- Cung AB trơn (hoặc trơn từng khúc), được cho bởi phương trình tham số x=
x(t), y = y(t), t 1 t t 2 (điểm A, B ứng với các trị t 1,t 2), f(x,y) liên tục trên cung AB, ta
có

51