Page 56 - Giáo trình Giải tích

2
2
= ∫( + ) ( , , )

2
2
= ∫( + ) ( , , )

= ∫( + ) ( , , )
2
2

Tổng quát, moment quán tính đối với đường thẳng  được tính bởi

= ∫ ( , , ) ( , , )
2

với r(x,y,z) là khoảng cách từ điểm M(x,y,z) đến đường thẳng .
2.3.2. Tích phân đường loại 2
Bài toán: Cho chất điểm M di chuyển dọc theo 1 cung phẳng L từ A đến B


dưới tác dụng của lực F = F (M)biến thiên liên tục dọc theo cung AB. Hãy tính công
mà lực đó sinh ra.
Giải:
Chia cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau bởi các điểm chia A=A o,
A 1,…, A n=B. Gọi x i, y i là các thành phần của A i− 1 A , độ dài cung A i-1A i là ∆s i.
i
Nếu cung A i-1A i khá bé thì có thể xem:



i) F không đổi và F = F (M i ) với M i(x i,y i) là một điểm nào đó trên cung A i-1A i.

ii) Cung A i-1A i xấp xỉ dây cung A i-1A i. Do đó công W i của F làm cho chất

điểm di chuyển từ A i-1 đến A i (trên L) là W i  (M .A i− 1 A
F
)
.
i
i

Nếu gọi P(M), Q(M) là hai thành phần của F thì
W i  P(M). x i + Q(M). y i 
Nếu mọi cung A i-1A i đều khá bé thì công của F sinh ra là:

= ∑ Δ ≈ ∑[ ( , )Δ + ( , )Δ ].

=1 =1
Phép tính gần đúng này càng chính xác nếu n càng lớn và các cung A i-1A i càng
bé. 
Vậy công của F làm cho chất điểm di chuyển từ A đến B trên L là giới hạn

n
nếu có của tổng  [P(ξ i η , i ) Δx i + Q(ξ i η , i ) Δy i ]khi n →  sao cho maxs i→0
i =1
(maxx i→0 và maxy i→0).
n
Như vậy, W = lim  [P(ξ η , ) Δx + Q(ξ η , ) Δy . ]
max  i x → 0 i i i i i i
max  i y → 0 i= 1

55