Page 55 - Giáo trình Giải tích

1 1 1
x G =  x ρ( x, y, z)ds, y G =  y ρ( x, y, z)ds, z G =  ρ z ( x, y, z)ds
m AB m AB m AB

- Moment tĩnh, trọng tâm cung
Cho một cung phẳng AB thuộc mặt phẳng Oxy, có khối lượng riêng phụ thuộc
điểm M(x,y) trên dây cung là ủ(x,y). Theo định nghĩa moment trong cơ học, ta có công
thức moment của cung AB đối với trục Ox là M x và đối với trục Oy là M y:

= ∫ ( , ) , = ∫ ( , ) .

̂
̂

Từ đó trọng tâm khối lượng của cung AB được xác định bởi:
1
̅ = = ∫ ( , )

̂

1
̅ = = ∫ ( , )

̂

Nếu cung AB đồng chất, δ(x,y)= δ (hằng số), thì M=δ.L (L là chiều dài cung
AB), và tọa độ trọng tâm sẽ là

1
̅ = ∫

̂

1
̅ = ∫

̂

Chú ý: Khi cung AB không cắt trục Ox và quay quanh trục Ox thì diện tích
mặt tròn xoay do cung phẳng đó tạo ra là

= 2 ∫ (2.42)

Từ công thức tọa độ trọng tâm, có
= 2 ̅ (2.43)
hay

̅ = (2.44)
2
Ví dụ 2.20: Tìm trọng tâm của nửa trên vòng tròn tâm O bán kính R.
Giải:

Xét nửa trên vòng tròn tâm O bán kính R, do tính đối xứng nên trọng tâm phải
nằm trên trục Oy (x=0). Khi nửa vòng tròn AB quay quanh trục Ox ta được quả cầu
2
có diện tích mặt cầu là S=4πR và độ dài nửa cung tròn AB là L=πR. Vậy trọng tâm
4 2 2
có tung độ là ̅ = = = .
2
2 2
- Moment quán tính của cung
Ta có công thức moment quán tính cung AB với khối lượng riêng δ(x,y,z) đối
với các trục tọa độ là:

54