Page 51 - Giáo trình Giải tích

(D) = ∬ ( , ) (2.36)

c) Moment quán tính

Moment quán tính của vật thể  với khối lượng riêng δ(x,y,z) đối với:
- Trục Ox: ∭ ( + ) ( , , ) ;
2
2

2
2
- Trục Oy: ∭ ( + ) ( , , ) ;

2
2
- Trục Oz: ∭ ( + ) ( , , ) ;

2
- Đường thẳng L: ∭ ( , , ) ( , , ) , với r(x,y,z) là khoảng
Ù
cách từ điểm (x,y,z) đến đường thẳng L;
2
- Mặt Oxy: = ∭ ( , , ) ;

2
- Mặt Oxy: = ∭ ( , , ) ;

2
- Mặt Oyz: = ∭ ( , , ) ;

2
2
- Gốc tọa độ: = ∭ ( + + ) ( , , ) .
2


d) Moment tĩnh, trọng tâm
Moment tĩnh của  với khối lượng riêng δ(x,y,z) đối với
- Mặt Oxy: = ∭ ( , , ) ;

- Mặt Oyz: = ∭ ( , , ) ;

- Mặt Ozx: = ∭ ( , , ) .

Trọng tâm của  với khối lượng riêng δ(x,y,z) là

= ; = ; = .
0
0
0
() () ()
2.3. Tích phân đường
Chúng ta đã biết cách tính khối lượng, tọa độ trọng tâm của một dây cung đồng
chất nếu biết khối lượng riêng và chiều dài của nó (m = .l) và chúng ta cũng đã nghiên
cứu cách tính công của một lực không đổi (W = F.s.cos). Vấn đề đặt ra là nếu có một

cung vật chất AB có khối lượng riêng tại điểm M là (M) thì khối lượng của nó được
⃗
tính như thế nào? Hay muốn tính công của một lực biến đổi ( ) thì ta làm thế nào?
Tích phân đường sẽ là công cụ giải quyết các vấn đề nêu ra.

2.3.1. Tích phân đường loại 1

a) Định nghĩa, tính chất
Định nghĩa 2.3. Cho đường cong L đi từ A đến B có độ dài hữu hạn, một hàm
f(M) =f(x,y) xác định trên cung AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên
nhau bởi các điểm chia A=A o, A 1,…, A n=B. Gọi độ dài cung A i-1A i là ∆s i.
Trên cung A i-1A i lấy 1 điểm tùy ý M i(x i,y i) và lập tổng

50