Page 53 - Giáo trình Giải tích

2
2
2
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))√ ( ) + ( ) (2.38)
′
′
1

2
2
(vì ta có vi phân cung = √ ( ) + ( ) ).
′
′
Nếu cung AB được cho bởi phương trình: y = y(x), a ≤ x ≤ b thì ta có thể coi
phương trình tham số của cung AB là: x = x, y = y(x), a ≤ x ≤ b.
Khi đó, công thức tính tích phân đường loại một:
b


f(x, y)ds = f(x, y(x)) 1 + y' 2 (x) dx (2.39)
AB a
Tương tự, nếu cung AB được cho bởi phương trình: x = x(y), c ≤ y ≤ d. Ta có
thể coi phương trình tham số của cung AB là y = y, x = x(y), c ≤ y ≤ d.
Khi đó công thức tính tích phân đường loại một:

2
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ) √1 + ( ) (2.40)
′

Ví dụ 2.17: Tính các tích phân sau
2
a) ∫ ( + ) , với cung AB là 1/4 đường tròn tâm O bán kính R nằm
2

trong góc phần tư thứ nhất.
2
b) ∫ , với cung AB là cung parabol y = x /2 đi từ A(0,0) đến B(4,8).

Giải:
a) Phương trình tham số của cung AB: x = Rcost, y = Rsint, 0 t /2. Áp
dụng công thức (2.38) ta có
π/2
2
2
 (x + y 2 )ds =  (R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t) (− Rsint) + (Rcost) 2 dt
AB 0
π/2 π/2 R 3 π
=  R 3 dt = R 3 t =
0 0 2
2
b) Phương trình tham số của cung AB: x = x, y = x /2, 0 x 4. Sφ dụng
công thức (2.40) ta có
4 1 4 17
2
2
2
∫ = ∫ √1 + = ∫ √1 + (1 + ) = .
0 2 0 3
Trường hợp đường lấy tích phân trong không gian
Tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z) dọc theo cung AB trong không gian
cũng được định nghĩa tương tự như tích phân đường loại một của hàm f(x,y) dọc theo
cung AB trong mặt phẳng.
Nghĩa là,

∫ ( , , ) = lim ( , , )∆

max ∆ →0

với điểm M i(x i,y i,z i) trên cung A i-1A i.
52