Page 50 - Giáo trình Giải tích

4
Giải: Chuyển sang tọa độ cầu, ta có = ∭ . Miền  giới hạn
Ù
124
bởi 0≤φ≤2π, 1≤r≤2, 0≤ố ≤π. Từ đó ta có = .
5
Ví dụ 2.15: Tính ∭ (√ + + ) với  là miền giới hạn
2
2
2

bởi x +y +z ≤z.
2
2
2
Giải:
Chuyển sang tọa độ cầu, ta có = ∭ . Miền  giới
3

hạn bởi 0≤φ≤2π, 1≤r≤cosố 0≤ố ≤π/2. Từ đó ta có =

2 3
2
∫ ∫ ∫ = .
0 0 0 10
2.2.4. Ứng dụng của tích phân bội ba
a) Thể tích
Vật thể  trong không gian Oxyz có thể tích là

= ∭ ( , , ) (2.33)

Ù
Nếu  giới hạn trên bởi mặt z=f 2(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z=f 1(x,y) và giới
hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với Oz có đường chuẩn là biên
của miền D trong mặt phẳng Oxy thì

= ∬( ( , ) − ( , )) (2.34)
2
1

Thực ra công thức (2.34) cũng chính là ứng dụng của tích phân bội 2 mà ta đã
biết.

Ví dụ 2.16: Tính thể tích của phần hình nón ≥ √ + nằm trong mặt cầu
2
2
2
2
2
x +y +z =4.
Giải:
2
2
2
2
2
Gọi  là vật thể hình nón ≥ √ + nằm trong hình cầu x +y +z ≤4, vậy
2
(Ù) = ∭ , ta có 0≤r≤2, 0≤≤π/4, 0≤φ≤2π. Vậy


2 4 2
3
2
(Ù) = ∫ ∫ ∫ . = (2 − √2)
3
0 0 0
b) Khối lượng
Khối lượng của vật thể  có khối lượng riêng tại điểm (x,y,z) là (x,y,z) thì
() = ∭ ( , , ) (2.35)

Ù
Nếu bản phẳng D nằm trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng tại điểm (x,y)
là  (x,y) thì

49