Page 48 - Giáo trình Giải tích

b) Đổi biến trong tọa độ trụ

z
z

M

O y y
φ
x
x M’
Hình 2.14

Toạ độ trụ của điểm M(x,y,z) là bộ ba số (r,φ, z) với (r,φ) là toạ độ cực của
hình chiếu M xuống mặt phẳng Oxy (Hình 2.14).
Ta luôn có r≥0, 0≤φ≤2π, -∞ ≤z≤+∞.
Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ trụ
=
{ = .
=
Với phép đổi biến như trên ta có định thức của ma trận Jacobi

| | − 0

= = | 0| =

| | 0 0 1

Vậy,

∭ ( , , ) = ∭ ( , , ) (2.30)

Ù Ù
2
Ví dụ 2.13: Tính ∭ ( + ) với  là miền giới hạn bởi z=x +y ; z=4.
2
2
2
Ù
Giải:
Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn D={(x,y)ℝ : x +y ≤4}.
2
2
2
Chuyển sang tọa độ trụ bằng cách đặt:
=
{ =
=
2
Ù giới hạn bởi 0≤φ≤2π, 0≤r≤2, r ≤z≤4.
Vậy,

47