Page 59 - Giáo trình Giải tích

= lim ∑ ( , , )Δ + ( , , )Δ + ( , , )Δ (2.47)

max →0

=1

Với d i là đường kính hình cầu chứa cung cung A i-1A i, với x i, y i, z i lần lượt là
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
lên trục các trục Ox, Oy, Oz; điểm M i(x i,y i,z i) thuộc
hình chiếu của véc tơ −1
cung A i-1A i. Vậy khi maxd i→ 0, đồng nghĩa  → 0 ,  → 0,  → 0.
i
i
i
Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t),
mút A ứng với trị t A, mút B ứng với trị t B.
Khi đó ta có công thức tính tích phân đường loại hai:
∫ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) =

′
′
′
∫ [ ( ( ), ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( ), ( )) ( )]

c) Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đơn
̂
Giả sử cung có phương trình tham số: x=x(t), y=y(t), z=z(t), a≤t≤b, với t là
⃗⃗
′
′
′
độ dài cung. Lúc đó véc tơ: ⃗( ) = ( ) ⃗ + ( ) ⃗ + ( ) véc tơ pháp tuyến đơn
vị. Khi đó nếu gọi ỏ, õ, ó là các góc của ⃗ đối với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tương
′
′
′
ứng, thì ( ) = , ( ) = , + ( ) = . Điểm A xác định tại t=a,
điểm B xác định tại t=b.
Vậy tích phân đường loại 2 được tính bằng:
∫ + + =

′
′
′
∫[ ( ( ), ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( ), ( )) ( )]

= ∫( + + ) ,

vế phải là tích phân xác định tính theo biến t.

d) Công thức Green
Định lý 2.1. (Công thức Green)
Nếu P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D thì
ta có công thức:

′
∬( ′ − ) = ∮ + (2.48)

Trong đó: L là biên của D, tích phân dọc theo L lấy theo chiều dương.

58