Page 20 - Giao trinh DSTT

Cột hệ số tự do là: b = ( + và cột ẩn là ( ,.

Ma trận mở rộng của hệ phương trình là:

( | +

Liên quan đến số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính người ta chứng
minh được định lý sau:

Định lý 2.1. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có một trong ba trường hợp
nghiệm xảy ra là: có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

2.1.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Dựa vào định lý cơ bản về việc giải hệ phương trình tuyến tính được trình
bày ở trên ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính Ax =b theo các bước sau đây:

Bƣớc 1: Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình: (A|b)
Bƣớc 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A trong
ma trận (A|b) về dạng ma trận tam giác trên (với A là một ma trận vuông) hay về
dạng ma trận bậc thang (với A là ma trận chữ nhật).

Nếu trong quá trình biến đổi sơ cấp trên dòng mà xuất hiện dạng: (0...0| a)
với a 0, thì ngừng biến đổi và kết luận hệ phương trình vô nghiệm, vì ta được
một hệ phương trình trong đó có một phương trình là: 0x 1 + 0x 2 + ... + 0x n = a và

a 0. Ngược lại, thì hệ phương trình có nghiệm, được cho trong bước ba tiếp theo
sau đây:
Bƣớc 3: Ta giải hệ bằng cách suy ngược từ dưới lên.
Chú ý: Nếu A là ma trận vuông thì sau khi đưa A về dạng ma trận tam giác

trên ta tiếp tục áp dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận tam giác trên về
ma trận đơn vị, từ đó suy ra ngay nghiệm của hệ phương trình. Phương pháp này
được gọi là phương pháp Gauss-Jordan.

Ví dụ 2.2.
Giải các hệ phương trình sau:

a){ – ; b) {

{

16