Page 26 - Giao trinh DSTT

Ví dụ 2.5.

Cho các hệ phương trình thuần nhất:

a) { b) {

2.2.2. Không gian nghiệm của hệ thuần nhất
Từ (**) dễ dàng nhận thấy x 1=x 2=...=x n=0 luôn thỏa mãn hệ phương trình,
nên ta gọi bộ nghiệm này là nghiệm tầm thường của hệ phương trình thuần nhất.
Nhận xét: - Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít nhất một nghiệm là
(x 1,...,x n) = (0,...0) và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương
trình. Do đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường hoặc
có vô số nghiệm.

- Hệ chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường khi det(A)≠ 0.
Định lý 2.4. Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và
chỉ khi det(A)=0.

Ví dụ 2.6.
Giải các hệ phương trình thuần nhất sau:

a) { b) {

Giải:

a) Ta có | | , do đó hệ có nghiệm không tầm thường thỏa: .

Hay không gian nghiệm của hệ là: với - tùy ý.

b) Ta có | | , do đó hệ có duy nhất nghiệm là nghiệm tầm

thường. Vậy nghiệm của hệ là x 1=x 2=x 3=0.
Nhận xét: Nếu m = n thì ta có các mệnh đề sau đây là tương đương:

i) .
ii) Ma trận khả đảo.
iii) Hệ có nghiệm duy nhất với mọi b.

iv) Hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

22