Page 27 - Giao trinh DSTT

TÓM TẮT NỘI DUNG

Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình với n ẩn có dạng tổng
quát như sau:

{ (*)

Trong đó a ij, b i là các hệ số cho trước và x 1, x 2,..., x n là các ẩn số cần tìm.
Các ma trận suy ra từ hệ:

( ) ( )

x = ( , và b = ( ,

lần lượt được gọi là ma trận hệ số, cột các ẩn và các cột hệ số tự do của hệ phương
trình tuyến tính (*).
Do đó hệ (*) được viết lại ở dạng ma trận là: Ax =b.
Giải hệ phương trình tuyến tính Ax =b bằng biến đổi sơ cấp theo các bước
sau đây:

Bƣớc 1: Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình: (A|b)
Bƣớc 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A trong
ma trận (A|b) về dạng ma trận tam giác trên (với A là một ma trận vuông) hay về
dạng ma trận bậc thang (với A là ma trận chữ nhật).
Bƣớc 3: Ta giải hệ bằng cách suy ngược từ dưới lên.

Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn: .

Định nghĩa: Hệ phương trình (*) được gọi là tương thích nếu hệ có nghiệm
và hệ là không tương thích nếu hệ đó là vô nghiệm.
Định lý (Kroneker-Capelli ): Hệ phương trình tuyến tính (*) là tương thích
̅
khi và chỉ khi Hơn nữa,
̅
i) Nếu thì hệ vô nghiệm.
̅
ii) Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất.
̅
iii) Nếu thì hệ có vô số nghiệm với số ẩn tự do là .

̅
Cách giải hệ trong trường hợp
̅
Vì nên tồn tại một định thức con khác 0 cấp q của ma
trận A và ta gọi nó là định thức con chính. Do đó để giải hệ phương trình trong
trường hợp này ta làm như sau:

23