Page 31 - Giao trinh DSTT
P. 31

Chƣơng 3

                                                       ĐỊNH THỨC
               3.1. Phép thế

                     3.1.1. Định nghĩa phép thế
                      Định nghĩa 3.1. Cho                       là một tập hợp có n phần tử. Một song ánh

                         ta gọi là một phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu là

               Ta sẽ ký hiệu phép thế bậc n  của     ∈    như sau:


                                                 ⟨                           ⟩

                      Chú ý:
                      - Nếu       ∈    thì fg và gf cũng là hai phép thế bậc n (vì      là các song ánh).

                      - Ánh xạ đồng nhất id cũng là phép thế bậc n.
                      - Ánh xạ ngược         của    cũng là phép thế bậc n.

                      Ví dụ 3.1.

                      1) Cho                   ta xét hai phép thế bậc 4 sau:

                               ⟨             ⟩    và         ⟨              ⟩

                      Tức là:

                                          Ta thấy

                      Do X  có n phần tử  nên  có n! hoán vị khác nhau  do đó tập    gồm có n! phần tử.


                      2) Phép thế đồng nhất:      ⟨                    ⟩.

                     3.1.2. Nghịch thế và dấu của phép thế

                      Định nghĩa 3.2. Cho   ∈   , một cặp số phân biệt        gọi là một nghịch thế


               của f  nếu              .  Dấu của phép thế f, ký hiệu là sign(f) là +1 hay -1 tùy theo số

               các nghịch thế của  f  là chẵn hay lẻ và khi đó ta cũng nói f  là phép thế chẵn hay lẻ.
                      Vậy theo định nghĩa dấu của phép thế ta có:


                                                           ∏


                      Ví dụ 3.2.

                      1)    ⟨                ⟩  có hai nghịch thế là {1, 3} và {2, 3} nên  f  là phép thế chẵn.


                             ⟨                     ⟩ có một nghịch thế {2, 3} nên   là phép thế lẻ.


                      Tính  chất:  Với  mọi  phép  thế     ∈     đều  có  thể  phân  tích  thành  tích  các

               chuyển trí.




                                                             27
   26   27   28   29   30   31   32   33   34   35   36