Page 31 - Giao trinh DSTT
P. 31
Chƣơng 3
ĐỊNH THỨC
3.1. Phép thế
3.1.1. Định nghĩa phép thế
Định nghĩa 3.1. Cho là một tập hợp có n phần tử. Một song ánh
ta gọi là một phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu là
Ta sẽ ký hiệu phép thế bậc n của ∈ như sau:
⟨ ⟩
Chú ý:
- Nếu ∈ thì fg và gf cũng là hai phép thế bậc n (vì là các song ánh).
- Ánh xạ đồng nhất id cũng là phép thế bậc n.
- Ánh xạ ngược của cũng là phép thế bậc n.
Ví dụ 3.1.
1) Cho ta xét hai phép thế bậc 4 sau:
⟨ ⟩ và ⟨ ⟩
Tức là:
Ta thấy
Do X có n phần tử nên có n! hoán vị khác nhau do đó tập gồm có n! phần tử.
2) Phép thế đồng nhất: ⟨ ⟩.
3.1.2. Nghịch thế và dấu của phép thế
Định nghĩa 3.2. Cho ∈ , một cặp số phân biệt gọi là một nghịch thế
của f nếu . Dấu của phép thế f, ký hiệu là sign(f) là +1 hay -1 tùy theo số
các nghịch thế của f là chẵn hay lẻ và khi đó ta cũng nói f là phép thế chẵn hay lẻ.
Vậy theo định nghĩa dấu của phép thế ta có:
∏
Ví dụ 3.2.
1) ⟨ ⟩ có hai nghịch thế là {1, 3} và {2, 3} nên f là phép thế chẵn.
⟨ ⟩ có một nghịch thế {2, 3} nên là phép thế lẻ.
Tính chất: Với mọi phép thế ∈ đều có thể phân tích thành tích các
chuyển trí.
27