Page 106 - Giáo trình Giải tích

- Phương trình vi phân toàn phần
Dạng phương trình P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, với điều kiện

=

với mọi (x,y) ∈ D.

Tích phân tổng quát ∫ ( , ) + ∫ ( , ) = ,
0 0 0
hay

∫ ( , ) + ∫ ( , ) = .
0
0 0
2. Phương trình vi phân cấp

- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (*)
+ Nếu biết y 1(x)≠ 0 là nghiệm của (*) thì có thể tìm nghiệm y 2(x) của nó
độc lập tuyến tính với y 1(x) dạng
1
( ) = ( ) ∫ − ∫ ( )
1
2
( ) 2
1
Chú ý: Trong tích phân trên hằng số cộng của tích phân bất định luôn lấy bằng 0.
- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (**)
+ Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange:
Tìm được nghiệm của phương trình thuần nhất

y = C 1y 1(x) + C 2y 2(x) (1)
Ta đi tìm nghiệm tổng quát của (**) ở dạng (1) với C 1, C 2 là các hàm của x
được xác định từ hệ phương trình
′
′
+ = 0
1 1
2 2
{
′
′
′ 1 + ′ 2 = ( )
2
1
Giải hệ trên, giả sử ta tìm được C’ 1 =  1(x), C’ 2 =  2(x) suy ra
C 1 =  1(x)dx + K 1 và C 2 =  2(x)dx + K 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (**) là
y = K 1y 1(x) + K 2y 2(x) + y 1(x)  1(x)dx + y 2(x)  2(x)dx
trong đó K 1, K 2 là 2 hằng số tùy ý.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
- Phương trình thuần nhất y” + py’ + qy = 0, trong đó p, q là 2 hằng số.
+ Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
2
k + pk + q = 0.
Giả sử phương trình đặc trưng có 2 nghiệm là k 1 và k 2. Khi đó, ta xét các
trường hợp sau:

105