Page 105 - Giáo trình Giải tích

Vì vế phải có dạng e x [P (x)cosõx +P (x)sinõx], với =3, =1 nên +i
m
n
không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng
Y= e (Acosx+Bsinx),
3x
3x
3x
3x
Y’=3e (Acosx+Bsinx)+ e (-Asinx+Bcosx)= e ((3A+B)cosx+(B-A)sinx),
3x
3x
Y’’=3 e ((3A+B)cosx+(B-A)sinx)+ e (-(3A+B)sinx+(B-A)cosx)
3x
=e ((8A+4B)cosx+(2B-6A)sinx))
Thay Y, Y’, Y’’ vào phương trình không thuần nhất, dùng phương pháp đồng
nhất thức tìm các giá trị A, B.
Bước 3: Kết luận
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là...
Bài tập: Người đọc giải quyết phần còn lại của ví dụ trên.
Chú ý:
Đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có cấp cao hơn 2 thì
phương pháp giải cũng tương tự với phương pháp đã trình bày ở trên.

TÓM TẮT NỘI DUNG

1. Phương trình vi phân cấp 1

- Phương trình biến phân ly

Dạng phương trình f 1(x)dx + f 2(y)dy = 0,
tích phân tổng quát: f 2(y)dy = -f 1(x)dx + C.
- Phương trình đẳng cấp
Dạng phương trình y’ = f(x,y).

Cách giải: đặt y = ux  = + = ( ), đưa về phương trình biến

phân ly.
- Phương trình tuyến tính
Dạng phương trình
y’ + p(x)y = q(x)
Cách giải:
+ Tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
y = C.e - p(x)dx
+ Từ nghiệm trên, đặt C = C(x), lấy đạo hàm thay vào phương trình không
thuần nhất tính được
C = q(x)e p(x)dx dx + k.
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = e - p(x)dx [q(x)e p(x)dx dx + k], k là hằng số tùy ý.

- Phương trình Bernoully

Dạng phương trình y’+p(x)y = q(x).y
1-
-
Đặt z = y suy ra z’ = (1 - )y y’, do đó có phương trình
z’ + (1 - )p(x)z = (1 - )q(x) là phương trình đã biết giải.

104