Page 102 - Giáo trình Giải tích

2
Phương trình đặc trưng k -3k+2=0 có hai nghiệm k 1=1; k 2=2, nghiệm tổng
x
2x
quát của phương trình vi phân là y=C 1e +C 2e .
Trường hợp 2: Nếu k 1= k 2 = kℝ thì nghiệm tổng quát của (4.19) có dạng
kx
y = (C 1 + C 2x)e ,
trong đó C 1, C 2 là 2 hằng số tùy ý.
Ví dụ 4.13: Giải phương trình y’’ – 2y’ +y =0.
2
Phương trình đặc trưng k -4k+4=0 có hai nghiệm k 1=k 2=2, nghiệm tổng quát
2x
2x
của phương trình vi phân là y=C 1e +xC 2e .
Trường hợp 3: Nếu k 1,2 =  + i (tức k 1, k 2 là 2 nghiệm phức của phương trình
(4.20)) thì nghiệm tổng quát của (4.19) có dạng
x
y = e (C 1cosx + C 2sinx),
trong đó C 1, C 2 là 2 hằng số tùy ý.
Ví dụ 4.14: Giải phương trình y’’ +2y’ +10y =0.
2
Phương trình đặc trưng k +2k+10=0 có hai nghiệm k 1=-1+3i, k 2=-1-3i, nghiệm
-x
tổng quát của phương trình vi phân là y=e (C 1cos3x+C 2sin3x).
Ví dụ 4.15:
Giả sử một vật M được đặt trên lò xo đàn hồi. Chọn trục Oy thẳng đứng
có chiều được chọn từ trên xuống dưới và gốc tọa độ O đặt ở trọng tâm của vật.
Gọi y là độ dời tính từ vị trí cân bằng, giả sử rằng lực kéo vật về vị trí cân bằng
tỷ lệ với độ dời, nghĩa là bằng -y (k: hệ số đàn hồi của lò xo, y>0) còn lực cản
có chiều ngược lại với chiều chuyển động và tỷ lệ với vận tốc của vật, nghĩa là
dy
−
bằng -v=  (>0). Hãy khảo sát qui luật chuyển động của vật.
dt
Giải:
Theo định luật Newton, phương trình chuyển động của vật trên lò xo là
2
d y dy
M  = y  − −
dt 2 dt
đây là phương trình vi phân dạng gì? Phương trình trên tương đương với phương
trình vi phân
 
 y''+ y'+ y = 0 (*)
M M
chính là phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng.
    2   1
2
 −
Phương trình đặc trưng k + k + = 0 ,  =   − 4 = ( 2 4 M );
M M  M  M M 2
1) Nếu  2 4 M −  0, phương trình đặc trưng có hai nghiệm
 −
  2 4 M
k = −   0;
1 2 ,
2M 2M
2 k t
nghiệm tổng quát của phương trình (*) là y = C e + 1 1 k t C e .
2

2) Nếu  2 4 M =  − 0, phương trình đặc trưng có nghiệm kép k = −  0; nghiệm
2M
k t
tổng quát của phương trình (*) là y C e= 1 1 k t + tC e 2 k t = (C + tC )e .
2
2
1

101