Page 97 - Giáo trình Giải tích

b) Phương trình y’ - ysinx = sinxcosx (*) có phương trình thuần nhất
y’ - ysinx = 0 (**).
Phương trình (**) có nghiệm tổng quát

= ⇔ = ⇔ ln( ) = − +

⇒ = . − .
Tìm nghiệm riêng của (*)
Cho nghiệm riêng của (*) có dạng Y=C(x). − , ta có
′
′
= ( ). − + . ( ) − , thay vào (*) ta có:
′
( ). − + . ( ) − − . ( ) − = 4
′
⇔ ( ) = 4 ⇒ ( ) = 4 ∫ + , k là hằng số. Vậy nghiệm riêng của
(*) là: = (4 ∫ + ) − và nghiệm tổng quát của (**) là:
= (4 ∫ + ) − + . − .
e) Phương trình Bernoully

- Dạng phương trình:

y’ + p(x)y = q(x).y (4.12)
trong đó p(x), q(x) liên tục, R.
Cách giải:
Với  = 0;  = 1 thì (4.12) có dạng phương trình tuyến tính đã biết giải.
Với   0;  1, ta xét
y = 0 bằng cách thử trực tiếp ta được y = 0 là 1 NR của (4.12)

y  0, ta chia 2 vế (4.12) cho y được phương trình:
1-
-
y’.y + p(x)y = q(x)
1-
-
Đặt z = y suy ra z’ = (1 - )y y’, do đó có phương trình
z’ + (1 - )p(x)z = (1 - )q(x) (4.13)
là phương trình vi phân tuyến tính đã biết cách giải.
Lưu ý: Trong quá trình giải các bài tập cụ thể, dạng phương trình (4.13) ta
không nhất thiết phải nhớ công thức một cách đầy đủ, chỉ cần nhận đúng dạng
1-
phương trình Bernoully và đặt z = y , biến đổi và thay vào phương trình ta sẽ tìm
được phương trình dạng (4.13).
Ví dụ 4.7: Giải phương trình
a) y’ + xy(1 + y) = 0.
x/2 1/2
b) y’ + y = e y .
Giải:
2
′
a) y’ + xy(1 + y) = 0 ⇔ + = − ,
-1
-2
-1
1-2
đặt z=y =y , vậy y=z , y’= -z z’.
2
Phương trình y’+xy=-xy , trở thành
-1
-2
-2
-z .z’+xz =-x.z ⇔ -z’+xz=-x và đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp
1 đã biết cách giải, người đọc giải phần còn lại xem như bài tập.
1
b) y’ + y = 2 2 ,
1 1 1
1−
2
đặt = 2 = 2 , vậy y=z , y’= 2z.z’. Phương trình y’ + y = 2 2, trở thành

2
2zz’+z = 2
96