Page 95 - Giáo trình Giải tích

Nếu (u) - u  0 thì từ (*) ta có du = 0 hay u = C là hằng số tùy ý, lúc đó
NTQ của (4.7) là y = Cx.
Ví dụ 4.5: Giải các phương trình vi phân sau:

′
a) = 2
2
− 2
b) (y - x)dx + (y + x)dy = 0
Giải:
2
′
′
′
a) = 2 = , đặt = ⇒ = + ; ta có phương trình
2
− 2 −

3
2 2 2 2 +
′
+ = = ⇒ = − =
1 1 − 2 1 − 2 1 − 2
−
1 − 2 1 − 2
⇒ = ⇒ ∫ = ∫
3
3
2 + 2 +
1 2 2
⇒ ∫ ( − − ) = ∫
3
2
2 + 1 2 + 1
1 1
3
2
⇒ − (2 + 1) − ln(2 + 1) = ln( ) + ,
3 4
ta có TPTQ:
1 3 1 2
− (2 ( ) + 1) − ln (2 ( ) + 1) = ln( ) +
3 4
b) (y - x)dx + (y + x)dy = 0, chia cả hai vế cho xy ta có

( − 1) = − ( + 1)

′
′
đặt = ⇒ = + ; ta có phương trình

′
− 1 = −( + 1)( + )
2
− 1 − − 1
⇒ − = − ⇒ = −
+ 1 + 1
+ 1 + 1
⇒ = ⇒ ∫ = ∫
2
2
+ 1 + 1
1
⇒ ln( + 1) + arctan( ) = ln( ) +
2
2
1 2
⇒ ln (( ) + 1) + arctan ( ) = ln( ) + .
2
d) Phương trình tuyến tính
-Dạng phương trình:
y’ + p(x)y = q(x) (4.8)
trong đó p(x), q(x) là 2 hàm liên tục của x.
Nếu q(x)  0 thì (4.8) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất.
Nếu q(x)  0, tức (4.8) có dạng:
y’ + p(x)y = 0 (4.9)

94