Page 94 - Giáo trình Giải tích

đây là TPTQ của (4.4).
Chú ý: Phương trình vi phân có biến phân ly còn có dạng
M 1(x)N 2(y)dx + M 2(x)N 1(y)dy = 0 (4.5)

Cách giải: Xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Nếu M 2(x).N 2(y) 0, ta chia 2 vế (4.5) cho M 2(x).N 2(y) được
dạng phương trình vi phân (4.4) đã biết cách giải.
Trường hợp 2: Nếu M 2(x).N 2(y)=0, ta giải trực tiếp khi M 2(x) = 0 hoặc N 2(y) = 0
Ví dụ 4.4: Giải các phương trình vi phân sau:
′
a) =

b) + = 0, điều kiện y(0) = 1.
√1+ 2 √1+ 2
Giải:
′
a) = ⇔ =

1
1
2
⇒ = − − ⇔ + + = 0.
2
2 2
a) Phương trình + = 0, tương đương với
√1+ 2 √1+ 2
√1 + = √1 +
2
2
1 1
2
2
⇔ √1 + (1 + ) = √1 + (1 + )
2
2
2 2
1 1
2
⇒ ∫ √1 + (1 + ) = ∫ √1 + (1 + )
2
2
2
2 2
1 2 3 1 2 3
2
2
⇒ . (1 + )2 = . (1 + )2 + (∗).
2 3 2 3
Thay điều kiện y(0)=1 vào (*) ta có:
3
3
1
1
1 = 2 2 + , từ đó suy ra = (1 − 2 2), TPR của phương trình là:
3 3 3
3 3 3
2
2
(1 + )2 = (1 + )2 + (1 − 2 2)
c) Phương trình đẳng cấp
- Dạng phương trình:
y’ = f(x,y) (4.6)
trong đó f(x,y) có thể biểu diễn được thành hàm của tỷ số 2 đối số dạng

′
= ( , ) = ( ) (4.7)

- Cách giải:

Phương trình (4.7)  = ( , ) = ( )

Đặt y = ux  = + = ( ) (*), (*)  xdu = dx((u) - u)

Nếu (u) - u  0 thì ta có: = là dạng phương trình vi phân có biến
( )−
phân ly, đã biết giải.
Nếu (u) - u = 0 tại u = u 0 thì (4.7) có 2 nghiệm riêng là y = u 0x
93