Page 93 - Giáo trình Giải tích

4.1. Phương trình vi phân cấp 1

4.1.1. Định nghĩa, khái niệm
Định nghĩa 4.2. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình vi phân có dạng
F(x,y,y’) = 0 (4.1)
trong đó F là hàm của 3 biến độc lập.
Nếu từ (4.1) giải được ra

y’ = f(x,y) hay = ( , ) (4.2)

trong đó f là hàm của 2 biến độc lập, thì (4.2) là dạng tường minh của phương trình
vi phân cấp 1.
Ví dụ 4.1: Các phương trình vi phân cấp 1 có dạng như:
xdy + ydx = 0; yy’ - x = 0;...
Với phương trình vi phân (4.2), nếu hàm f(x,y) liên tục trong miền chứa điểm
(x 0,y 0) thì tồn tại 1 nghiệm y = y(x) thỏa mãn (4.2), nghiệm ấy lấy giá trị y 0 khi x=x 0
(được gọi là điều kiện đầu hay điều kiện Cauchy), ký hiệu: y(x 0) = y 0 hay y| x=x0=y 0.
f
Hơn nữa, nếu liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất.
y
Nghiệm tổng quát (NTQ) của phương trình vi phân cấp 1 là mọi hàm
y=(x;C), ở đó C là hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình vi phân ấy với mọi C.
Nghiệm riêng (NR) của phương trình vi phân cấp 1 là mỗi nghiệm y=(x;c 0)
nhận được từ NTQ bằng cách cho C một giá trị cụ thể c 0 nào đó.
Khi giải phương trình vi phân (4.1) hay (4.2) nếu chỉ tìm được dạng
(x,y,C)= 0 (4.3)
thì (4.3) được gọi là tích phân tổng quát (TPTQ) của phương trình vi phân, nói cách
khác, hệ thức (4.3) là NTQ dạng ẩn của phương trình vi phân. Khi gán cho C=C 0 cụ
thể nào đó ta có tích phân riêng (TPR) của phương trình vi phân.

4.1.2. Phương pháp giải

a) Phương trình khuyết
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng f(x, y,y’)=0, nếu có 1 trong các tham biến
x, y không tham gia vào phương trình ta gọi là phương trình khuyết.
Ví dụ 4.2: Giải phương trình vi phân y’-cosx=0.
Giải:
y’-cosx=0  y’=cosx => y=sinx+c.
Ví dụ 4.3: Giải phương trình vi phân y’-y=0.
x
Giải: y’-y=0  y’=y => y=e +c.
b) Phương trình biến phân ly
- Dạng phương trình :
f 1(x)dx + f 2(y)dy = 0 (4.4)
- Cách giải:

phương trình (4.4)  f 2(y)dy = - f 1(x)dx.
Lấy tích phân 2 vế
f 2(y)dy = -f 1(x)dx + C,

92