Page 92 - Giáo trình Giải tích

Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Đặt vấn đề

Trong nhiều bài toán, việc tìm mối liên hệ giữa 2 đại lượng x, y không phải
lúc nào cũng làm được, đôi khi ta chỉ tìm được liên hệ giữa x, y và các đạo hàm của
y theo x. Một hệ thức như thế được gọi là phương trình vi phân, từ hệ thức đó, ta

Tìm được hệ thức liên hệ giữa y với x được gọi là giải phương trình vi phân.
Chẳng hạn, xét bài toán: Tìm phương trình đường cong qua điểm M(1;2) và
có tính chất là mọi đoạn tiếp tuyến với đường cong nằm giữa 2 trục tọa độ bị tiếp
điểm chia 2 đoạn, mà đoạn tới Oy gấp 2 lần đoạn tới Ox.

y
B

2 M

O 1 P A x

Hình 4.1

Ta nhận thấy, nếu M(x;y)L có phương trình y =f(x), y’(x) = tan = - ,

′
do MP//OB nên có = ⇒ = , vậy = − 2 (*). Ta dễ dàng nhận thấy,
2

hàm = (**), với c là hằng số tùy ý thỏa mãn hệ thức (*), vậy nó là nghiệm của
2
phương trình vi phân (*).
Vậy, = là dạng đường cong cần tìm. Khi nó qua điểm M(1;2) thì ta có
2
2
c = 2, tức là đường cong thỏa mãn bài toán có dạng = .
2
Từ bài toán trên, ta đi đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 4.1.
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ biến độc lập hay các biến độc
lập, hàm chưa biết và các đạo hàm của nó.

Nếu hàm chưa biết là hàm của 1 biến độc lập thì phương trình ấy được gọi là
phương trình vi phân thường và ở trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu dạng phương
trình vi phân có dạng này mà thôi.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong mặt trong

phương trình.
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm thỏa mãn phương trình, tức là
khi thay nó vào phương trình vi phân ta được 1đồng nhất thức.

91