Page 89 - Giáo trình Giải tích

⃗⃗⃗
Chú ý: Nhân vô hướng ∇ với chính nó ta được một toán tử gọi là Laplace, ký
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
hiệu . Vậy ∆= ∇ . ∇= 2 + 2 + 2 , khi ta tác động toán tử Laplace lên trường
2 2 2
2
2
2

vô hướng u, ta được ∆ = + + .
2 2 2
Hàm điều hòa
2
2
2

Hàm u(x,y,z) thỏa mãn phương trình ∆ = + + = 0 được gọi là
2 2 2
hàm điều hòa. Một trường vô hướng xác định bởi một hàm điều hòa gọi là trường
điều hòa.
Ví dụ 3.11: Chứng minh rằng trường điện thế

= =
√ + + 2
2
2
là một trường điều hòa.
Giải:
2
2
2
√ + + − 2 2 2
2
2
2
2
2
Ta có = ; = ( √ + + ) = ( + + − )
2 3/2
2
2
2
2
2
2
√ + + 2 2 + + 2 ( + + )
tương tự
2
2
2
√ + + −
2
2
2
2
2
2
2
√ + + 2 ( + + − )
= ; = ( ) =
2 3/2
2
2
2
2
2
2
√ + + 2 2 + + 2 ( + + )
2
2
2
√ + + −
2
2
2
2
2
2
2
√ + + 2 ( + + − )
= ; = ( ) =
2
2
2 3/2
2
2
√ + + 2 2 + + 2 ( + + )
2
2
2
2
2

Từ đó suy ra ∆ = + + = 0, nên u là trường điều hòa.
2 2 2

TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Các khái niệm
- Trường vô hướng u=u(x,y,z)
- Mặt đẳng trị u(x,y,z) =C, (C-const).

⃗
- Đạo hàm theo hướng , ký hiệu: |
⃗ 0
- Gradient
Cho trường vô hướng u = u(M) = u(x,y,z). Gradient của trường u tại điểm M

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
là véctơ có tọa độ là ( , , ), ký hiệu , vậy

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , , ) = ⃗ + ⃗ + ,
⃗⃗
= (

⃗⃗
với ⃗, ⃗, lần lượt là các véc tơ chỉ phương tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
88