Page 85 - Giáo trình Giải tích

3.2.2. Thông lượng, dive, dạng véc tơ của công thức Gauss – Ostrogratski
⃗
⃗
Cho trường véc tơ = ( , , ) có 3 thành phần P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),
S là mặt định hướng có véc tơ pháp tuyến dương tương ứng là ⃗⃗ có các cosin chỉ
hướng: , , . Tích phân mặt loại 2

∬( ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) ) (3.3)

⃗
là thông lượng của trường véc tơ qua mặt cong S.
Ký hiệu: Φ.
⃗
Nếu gọi F n là hình chiếu của trên ⃗⃗ thì ta có
= ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) , vậy ta có

Φ = ∬

Tại mỗi điểm M(x,y,z) của trường véctơ nói trên, ta xét đại lượng vô hướng
7
⃗
+ + gọi là Dive của trường tại M.

⃗
Ký hiệu: .
Vậy,

⃗
= + + (3.4)

⃗
2 3
Ví dụ 3.8: Cho trường véc tơ = ( + + ; ; ) và điểm M o(-2,1,-3).
⃗
Tìm ( ).
0
Giải:

⃗
2 2
( ) = + + = 1 + + 3 |
0
0
⃗
thay giá trị M 0 vào ta có ( ) = 1 + 6 − 54 = −48.
0
Nhận xét:
⃗
⃗
- Khi ( ) = 0, ∀M ∈V trường gọi là trường ống.
⃗
- Khi ( ) > 0, M gọi là điểm rũ. (Giống như khi ta có một túi ni lon
chứa đầy nước và ta đục thủng 1 điểm tại M, nước sẽ chảy từ trong túi ni lon ra
ngoài).
⃗
- Khi ( ) < 0, M gọi là điểm nguồn. (Giống như khi ta cố tình nhấn 1
thùng rỗng có thủng 1 lỗ vào 1 chậu nước, nước sẽ từ từ chảy vào thùng theo lỗ trên).

7 Trong giải tích véc tơ, toán tử div hay toán tử phân kỳ hay suất tiêu tán là một toán tử đo mức độ phát (ra) hay thu
(vào) của trường véc tơ tại một điểm cho trước. Ví dụ, ta xét gọi là nguồn thu nhiệt, một cách chính xác hơn, suất tiêu
tán tượng trưng cho mật độ thể tích của một thông lượng, xem không khí được hâm nóng hay làm nguội đi. Trường
vectơ trong ví dụ này là vận tốc của không khí di chuyển tại từng điểm. Nếu không khí được hâm nóng lên trong một
vùng nào đó nó sẽ nở ra trong tất cả mọi hướng do vậy các vectơ vận tốc sẽ chỉ hướng ra khỏi vùng đó. Dó đó suất
tiêu tán (dive) trong vùng đó sẽ có giá trị dương, vì vùng đó là nguồn phát nhiệt. Nếu như không khí lạnh đi và co
lại, suất tiêu tán vùng đó sẽ có giá trị âm và vùng đó là nguồn thu nhiệt.

84