Page 81 - Giáo trình Giải tích

Chương 3

LÝ THUYẾT TRƯỜNG

3.1. Trường vô hướng
3.1.1. Định nghĩa

Trong miền không gian V có một trường vô hướng u nếu tại mỗi điểm M∈V
có 1 giá trị xác định của đại lượng vô hướng u. Như vậy cho 1 trường vô hướng
trong miền V là cho 1 hàm vô hướng u xác định trong miền ấy.
Ví dụ 3.1: Sự phân bố nhiệt độ trong 1 vật thể tạo nên 1 trường vô hướng
trong vật thể ấy.
Trong giáo trình này chúng ta chỉ nghiên cứu những trường vô hướng u mà
giá trị của chúng không biến thiên theo thời gian, ta gọi những trường vô hướng ấy
là trường dừng.
2
2
2
3
Ví dụ 3.2: Trong không gian ℝ , cho trường vô hướng u=u(x,y,z)=x +y +z ,
3
vậy tại mọi điểm bất kỳ trong ℝ ta nhận được một giá trị có độ lớn chính bằng bình
phương khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đó.
3.1.2. Mặt đẳng trị
Cho trường vô hướng u = u(M) = u(x,y,z), với M ∈ V. Khi đó phương trình
u(x,y,z) =C, (C-hằng số) (3.1)
xác định 1 mặt được gọi là mặt đẳng trị (tương ứng với giá trị C).
3
2
Ví dụ 3.3: Trong không gian ℝ , cho trường vô hướng u=u(x,y,z)= x +y +z .
2
2
2
Với một giá trị C≥0 ta có phương trình x +y +z =C, đây là phương trình mặt cầu có
2
2
tâm là gốc tọa độ, bán kính √ , có vô số mặt đẳng trị như vậy tương ứng với các giá
trị C≥0.
Chú ý:
Các mặt đẳng trị không giao nhau và toàn bộ miền V bị phủ kín bởi những
mặt đẳng trị.
Ví dụ 3.4: Một điện tích q đặt ở gốc tọa độ gây nên một trường điện thế

( , , ) =
2
2
√ + + 2
Với một giá trị C>0, ta có mặt đẳng thế = , hay
2
2
√ + + 2
2

2
2
+ + = (√ ) .
2

Mặt đẳng thế chính là các mặt cầu đồng tâm, bán kính √ .

3.1.3. Gradient, các tính chất, quan hệ đạo hàm theo hướng và gradient
a) Đạo hàm theo hướng
Cho trường vô hướng u = u(M) = u(x,y,z), M ∈V. Lấy M o(x o,y o,z o) ∈ V, qua
⃗
M o xác định một đường thẳng định hướng có các cosin chỉ hướng của nó là cos,

80