Page 83 - Giáo trình Giải tích

Vậy,

⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
= ( ) = ⃗ + ⃗ + (3.2)
,

⃗⃗
với ⃗, ⃗, lần lượt là các véc tơ chỉ phương tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
⃗
Định lý 3.2. Cho trường vô hướng u=u(x,y,z) và hướng . Khi đó

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ch .
⃗
⃗
(Đạo hàm theo hướng chính là hình chiếu của gradient của trường vô hướng u trên
⃗
véc tơ ).
Ý nghĩa: Gradient chính là véc tơ mà đạo hàm theo hướng đó thì giá trị của
đạo hàm sẽ đạt giá trị cực đại. Điều này có ý nghĩa rất quan trọng trong các bài toán
kỹ thuật, tìm gradient chính là tìm ra hướng mà tốc độ biến thiên của hàm đạt giá trị
lớn nhất. Ta có thể hiểu một cách đơn giản rằng, một người đang đứng lưng chừng

núi có nhiều hướng khác nhau để lên đỉnh núi, nếu đi theo “hướng” gradient là hướng
có độ dốc lớn nhất.

Bài tập:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) Chứng minh ( + ) = + , với k 1, k 2 là
2
2 2
2
1
1
1 1
các hằng số, u 1, u 2 là các trường vô hướng.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) Chứng minh ( ) = + .
2
2
1
1
1 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
′
c) Chứng minh ( ( )) = ( ) .
Các kết quả trên cũng chính là các tính chất của trường vô hướng.
3.2. Trường véc tơ
3.2.1. Định nghĩa, đường dòng
Khái niệm trường véc tơ sinh ra từ các vấn đề thực tế, ví dụ như khi ta quan
sát dòng suối chảy, tại các điểm khác nhau ta thấy nước chảy theo các hướng khác
nhau; hoặc như quan sát “dòng” không khí lưu thông trong một căn phòng, tại các
điểm khác nhau, không khí lưu thông theo các hướng khác nhau…
⃗⃗⃗⃗
Định nghĩa 3.1. Trong miền V xác định một trường véctơ nếu tại mỗi điểm
M∈V có một véc tơ xác định.
Như vậy cho một trường véc tơ trong miền V là cho một hàm véc tơ
⃗
⃗
= ( , , ) = ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))
xác định trong miền ấy.
Ví dụ 3.6: Cho trường véc tơ

⃗
⃗
2 3
= ( , , ) = ( + + ; . . ; )
⃗
2 3
Ta có (1; 2; 3) = (1 + 2 + 3; 1.2.3; 1. 2 3 ) = (6; 6; 108)… tương tự như
vậy ta có thể xác định véc tơ tại một điểm bất kỳ.

82