Page 87 - Giáo trình Giải tích

3.2.3. Hoàn lưu, véc tơ xoáy, dạng véc tơ của công thức Stokes
a) Hoàn lưu và véc tơ xoáy

Định nghĩa 3.2.
⃗
⃗
Cho trường véc tơ = ( , , ) = ( ( , , ), ( , , ), ( , , )), với ba
thành phần P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), L là một đường cong kín trong V. Khi đó ta
⃗
8
gọi ∮ + + là hoàn lưu của trường dọc theo L.

Ký hiệu: C.
Vậy,

= ∮ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (3.14)

⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi là véc tơ nằm theo hướng tiếp tuyến dương của L, có các thành phần
dx, dy, dz. Khi đó công thức (3.14) có thể viết lại

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ∮
⃗
Nếu gọi F t là hình chiếu của lên tiếp tuyến với đường cong L, ds là vi phân
của đường cong L thì = ∮ .

-Véc tơ xoáy (Rota)
⃗
⃗
Cho trường véc tơ = ( , , ) = ( ( , , ), ( , , ), ( , , )), véc tơ

{ − ; − ; − } (3.15)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗
được gọi là véc tơ xoáy của trường véc tơ , ký hiệu .
Công thức Stokes dưới dạng véctơ

⃗
⃗
Cho trường véc tơ = ( , , ) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Trong đó
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) là các hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục
trên mặt S có biên là đường cong L.
Khi đó công thức Stokes có thể viết dưới dạng véctơ như sau:

∮ = ∬

trong đó = ℎ ( ) với ⃗⃗ là véc tơ pháp tuyến của mặt S.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9
⃗⃗

⃗
Chú ý: Hoàn lưu của trường véc tơ dọc theo đường cong kín L bằng thông
⃗
lượng của trường véc tơ đi qua mặt cong S (giới hạn bởi đường L).

8
Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm hoàn lưu, rota ta xem trường véc tơ như chuyển động của một dòng
nước.Với một dòng nước bình thường khi ta xét công sinh ra khi 1 chất điểm di chuyển theo một đường cong kín, vì
công sinh ra khi ta di chuyển trên chiều thuận và công sinh ra khi ta di chuyển theo chiều ngược sẽ triệt tiêu cho nhau.

9 Hỡnh chiếu của vộc tơ rota của trường véc tơ ⃗ lên véc tơ pháp tuyến ⃗⃗.
86