Page 82 - Giáo trình Giải tích

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
cosõ, cosó. Lấy M 1 ( + ∆ , + ∆ , + ∆ )∈ V sao cho cùng phương với
0
0
0
1
0
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
. Đặt = là độ dài đại số của véc tơ , = √∆ + ∆ + ∆ nếu hai
2
2
2
1
0
0
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
véc tơ và cùng hướng với nhau và = −√∆ + ∆ + ∆ , nếu nếu hai
2
2
2
1
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
véc tơ và ngược hướng với nhau.
0
1
Nếu giới hạn
∆ ( + ∆ , + ∆ , + ∆ ) − ( , , )
0
0
0
0
0
0
lim = lim
→0 →0
tồn tại (có thể bằng vô cùng) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm u theo
⃗
hướng tại M o.

Ký hiệu: | .
⃗ 0
Chú ý:
i) Đạo hàm theo hướng không những phụ thuộc vào điểm M o mà còn phụ
thuộc vào hướng lấy đạo hàm.

ii) , , chính là đạo hàm của hàm u theo hướng Ox, Oy, Oz.

Như ta đã biết đạo hàm biểu thị biến thiên vận tốc của hàm đối với biến, vì
⃗
vậy đạo hàm theo hướng biểu thị vận tốc biến thiên của hàm u theo hướng .
Định lý 3.1. Nếu hàm u = u(x,y,z) khả vi tại M(x,y,z) thì tại điểm đó nó có đạo
⃗
hàm theo hướng bất kỳ, và

= + +
⃗
⃗
trong đó cos, cosõ, cosó là các cosin chỉ hướng của .
2
Ví dụ3.5: Cho trường vô hướng u = xy +z , tính đạo hàm tại M o(0,1,-1) theo
⃗
hướng = (2,2, −1).
Giải:
⃗
Với hướng như trên ta có
2 2 2 2 −1 −1
= = , = = , = = ;
| ⃗ | 3 | ⃗ | 3 | ⃗ | 3
= | = 1, = | = 0, = 2 | = −2.
0 0 0
2
2
4
1
Vậy, = 1. + 0. + (−2) (− ) = .
⃗ 3 3 3 3
b) Gradient
Cho trường vô hướng u = u(M) = u(x,y,z). Gradient của trường u tại điểm
M là véctơ có tọa độ là:

( , , ).

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ký hiệu: .
81