Page 86 - Giáo trình Giải tích

div>0

div<0
Hình 3.3

Công thức Gauss-Ostrogradsky dưới dạng véctơ
⃗
⃗
Cho trường véc tơ = ( , , ) = ( ; ; ), với ba thành phần P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z), trong đó P, Q, R có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền V có
biên là S.

Khi đó công thức Gauss-Ostrogradsky có thể viết dưới dạng véctơ như sau:

⃗
∭ = ∬

⃗
Công thức trên chỉ ra rằng thông lượng của trường véc tơ qua một mặt cong
⃗
kín bằng tích phân bội ba của lấy trên miền V giới hạn bởi mặt cong kín S.
⃗
Ví dụ3.9: Cho trường véc tơ = ( , , ). Tính thông lượng của trường véc
2
2
2
tơ qua mặt xung quanh của hình trụ x + y =R , 0≤z ≤h.
Giải:
2
2
2
Phương trình mặt trụ x + y =R ta có thể viết lại f(x,y,z)= x + y -R =0.
2
2
2
Gọi ⃗⃗ là véc tơ pháp tuyến của mặt cong, vậy

⃗⃗ = ( , , ) = (2 , 2 , 0).

Các cosin chỉ hướng của ⃗⃗ là = , = , = 0.
2
2
√ + 2 √ + 2

2
2
= 2 . + 2 . = 2√ + = 2 . Thông lượng của trường véc tơ

2
2
√ + 2 √ + 2
⃗
qua mặt xung quanh của hình trụ là
2
Φ = ∬ F dS = 2 ∬ = 2 . 2 ℎ = 4 ℎ.
n
S

Trong trường hợp tính thông lượng qua toàn bộ mặt ngoài (kể cả hai đáy) của
vật thể hình trụ ta có
⃗
2
Φ = ∬ F dS = ∭ = 3 ∭ = 3 ℎ .
n
S

85