Page 88 - Giáo trình Giải tích

Trường thế
⃗
⃗
Định nghĩa 3.3. Cho trường véc tơ = ( , , ) = ( , , ). Nếu tồn tại hàm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
vô hướng u =u(x,y,z) sao cho tại mọi điểm của V ta đều có = , thì được
⃗
gọi là trường thế và u(x,y,z) được gọi là hàm thế vị của trường .
Chú ý:
⃗
Trường là trường thế khi và chỉ khi tồn tại hàm u sao cho
= + + (3.16)

điều kiện (3.16) tương đương với

= ; = ; = (3.17)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
điều đó chỉ ra rằng ( ) = 0.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗
Trường là trường thế khi và chỉ khi ( ) = 0.
Ví dụ 3.10: Cho trường cường độ điện trường do điện tích q đặt tại gốc tọa
⃗⃗
⃗⃗
độ gây ra = ⃗, chứng minh là một trường thế.
3
Giải:
⃗⃗
; ).
;
Giả sử ⃗ = ( , , ), suy ra = (
3 3 3

⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ′ − ( ) ′ ; ( ) ′ − ( ) ′ ; ( ) ′ − ( ) ′ ) = 0
= ((
3 3 3 3 3 3
⃗⃗
điều đó chứng tỏ là một trường thế.
Toán tử Hamintơn.
Định nghĩa 3.4. Toán tử Hamintơn là “véctơ tượng trưng”
∂ ∂ ∂
⃗⃗
⃗⃗⃗ + j⃗ + k
∇= i⃗
∂x ∂y ∂z
(∇ đọc là Nabla).
⃗⃗⃗
Toán tử này được hiểu theo nghĩa hình thức, ví dụ như khi ta viết ∇u thì ta có
được biểu diễn
∂u ∂u ∂u
⃗⃗
⃗⃗⃗ + j⃗ + k
∇u = i⃗
∂x ∂y ∂z
với cách biểu diễn toán tử Haminton giúp chúng ta biểu diễn các cụng thức đơn giản
hơn.
⃗
⃗
Với u là một trường vô hướng, trường véc tơ = ( , , ) = ( , , ), ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
i)∇. u = i⃗ ∂u + j⃗ ∂u + k ∂u = gradu
∂x ∂y ∂z
∂
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
ii) ∇. F = (i⃗ ∂ + j⃗ ∂ + k ) . (i⃗P + j⃗Q + kR) = ∂P + ∂Q + ∂R = divF
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗
iii) ∇ậ = (i⃗ ∂ + j⃗ ∂ + k ) ậ(i⃗P + j⃗Q + kR)
∂x ∂y ∂z
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ( − ; − ; − ) = .
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
87