Page 96 - Giáo trình Giải tích

phương trình vi phân (4.9) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng của phương trình (4.8).

- Cách giải:
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (4.9), nếu y  0 thì suy ra =

− ( ) , ta có NTQ của phương trình (4.9) là:
y = C.e - p(x)dx (4.10)
Khi y = 0 ta thấy thỏa mãn phương trình vi phân (4.9) nên y=0 là NR của (4.9).
Trong (4.10), ta coi C = C(x) và tìm C(x) để (4.10) là 1 nghiệm của (4.8). Lấy
đạo hàm 2 vế của (4.10) rồi thế vào (4.8) thu gọn và tính được
C = q(x)e p(x)dx dx + k (*)
Thay (*) vào (4.10) được nghiệm tổng quát của (4.8) là:

y = e - p(x)dx [q(x)e p(x)dx dx + k], (4.11)
k là hằng số tùy ý.
Chú ý:
i) Từ cách giải trên, ta rút ra kết luận rằng:
NTQ(4.8) = NTQ(4.9) + 1 NR(4.8)
ii) Trong thực tế, người ta Tìm NTQ của (4.8) bằng cách như sau:
Bước 1. Tìm 1 nguyên hàm của p(x)dx, giả sử là P(x)
Bước 2. Tìm 1 nguyên hàm của q(x)e P(x) dx, giả sử là Q(x)
Bước 3. Kết luận NTQ của (4.8) là y = e -P(x) [Q(x) + C], C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 4.6: Giải các phương trình vi phân sau:
a) y’ + xy = 4x, thỏa y(0) = 0.
b) y’ – y.sinx = sinx.cosx.
Giải:
a) Phương trình y’ + xy = 4x (*) có phương trình thuần nhất
y’ + xy = 0 (**).
Phương trình (**) có nghiệm tổng quát

2

= − ⇔ = − ⇔ ln( ) = − +
2
2
⇒ = . − 2 .

2
Tìm nghiệm riêng của (*), cho nghiệm riêng của (*) có dạng Y=C(x). − 2 , ta có
2 2
= ( ). − 2 − . ( ) − 2 , thay vào (*) ta có:
′
′
2 2 2
′
( ). − 2 − . ( ) − 2 + . ( ) − 2 = 4
2 2 , 2 2

′
⇔ ( ) = 4 2 = 4 ( ) 2 ⇒ ( ) = 4 2 + , k là hằng số. Vậy nghiệm
2
2 2

riêng của (*) là: = (−4 2 + ) − 2 và nghiệm tổng quát của (**) là:
2 − 2 − 2

= (4 2 + ) 2 + . 2 .
95