Page 101 - Giáo trình Giải tích

y = C 1y 1(x) + C 2y 2(x). (*)
Ta đi tìm nghiệm tổng quát của (4.17) ở dạng (*) với C 1, C 2 là các hàm của x
được xác định từ hệ phương trình
′
′
( ) ( ) + ( ) ( ) = 0
2
1
1
2
{ (∗∗)
′
′
′
′
( ) ( ) + ( ) ( ) = ( )
1
2
1
2
Giải hệ (**), giả sử ta tìm được C’ 1 =  1(x), C’ 2 =  2(x) suy ra
C 1 =  1(x)dx + K 1 và C 2 =  2(x)dx + K 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (4.17) là
y = K 1y 1(x) + K 2y 2(x) + y 1(x)  1(x)dx + y 2(x)  2(x)dx
trong đó K 1, K 2 là 2 hằng số tùy ý.
Chú ý: Không làm mất tính tổng quát, ta có thể viết nghiệm tổng quát của
phương trình vi phân (4.17) ở dạng:
y = C 1y 1(x) + C 2y 2(x) + y 1(x)  1(x)dx + y 2(x)  2(x)dx
trong đó C 1, C 2 là 2 hằng số tùy ý.
2x
Ví dụ 4.11: Giải phương trình vi phân y” - y’ = e .
Giải:
Giải phương trình y” - y’ =0, đặt p=y’ ta có p’=y” vậy
C
x
′
” − ’ = 0 ⇔ p − p = 0 ⇔ dp = p ⇒ lnp = e x ⇒ p = C. e . Vì p=y’ nên
dx
x
x
y’=C.e , suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y=C 1e +C 2.
Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dạng Y=C 1(x)e +C 2(x), ta có
x
′
′

( ) + ( ) = 0
1
2
{

′
( ) = 2
1
1
x
vậy C 1(x)=e , C 2(x)=− −2 . Ta có nghiệm riêng của phương trình không thuần
2
1
2x
nhất là Y=e − −2 , nên nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là:
2
1
x
2x
y= y=C 1e +C 2+ e − −2 .
2
4.234. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
a) Phương trình thuần nhất
Xét phương trình vi phân
y” + py’ + qy = 0 (4.19)
trong đó p, q là 2 hằng số.
Từ phương trình (4.19) ta viết được phương trình
2
k + pk + q = 0 (4.20)
gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (4.19).
Giả sử phương trình đặc trưng (4.20) có 2 nghiệm là k 1 và k 2. Khi đó, ta xét
các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu k 1, k 2 ℝ và k 1  k 2 thì nghiệm tổng quát của (4.19) có
dạng = + ,
2
1
2
1
trong đó C 1, C 2 là 2 hằng số tùy ý.
Ví dụ 4.12: Giải phương trình y’’ – 3y’ +2y =0.
100