Page 99 - Giáo trình Giải tích

Nếu giải (4.14) hay (4.15) chỉ được (x;y;C 1;C 2) = 0 thì phương trình này
được gọi là tích phân tổng quát của (4.14) hay (4.15) và khi ta gán cho C 1 và C 2
những giá trị cụ thể ta sẽ có tích phân riêng (4.14) hay tích phân riêng (4.15).
Chú ý:
Đối với phương trình vi phân có cấp cao hơn, các định nghĩa, định lý cũng
được phát biểu tương tự.

4.2.2. Phương pháp giải
a) Phương trình khuyết
Xét phương trình vi phân dạng (4.15), ta có các dạng sau:

i) Vế phải (4.15) không chứa y, y’, tức có dạng sau
y” = f(x) (4.16)
Cách giải:
Lấy tích phân 2 vế 2 lần liên tục ta sẽ có nghiệm tổng quát của (4.15).
Ví dụ 4.8. Giải phương trình y” = cos2x, thỏa y 0 = y’ 0 = 1.
1
1
′
′
⇒ = 2 + , với y’(0)=1, ta có C 1=1, vậy = 2 + 1.
2 1 2
1
⇒ = − 2 + + , với y(0)=1, ta có C 2=1/4, vậy nghiệm riêng của
2
4
1
1
phương trình vi phân = − 2 + + .
4 4
ii) Vế phải (4.14) không chứa y, tức có dạng sau
y” = f(x;y’) (4.17)
Cách giải:
Đặt p = y’(x) suy ra y” = p’ thay vào (4.16) được phương trình p’ = f(x;p)
là dạng phương trình đã biết giải. Giả sử giải ra được nghiệm tổng quát là p = y’ =
(x;C 1), ta giải tiếp phương trình này được nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân đã cho.
′
Ví dụ 4.9: Giải phương trình " − − ( − 1) = 0.
−1
Giải:
" − ′ − ( − 1) = 0.
−1
′
Đặt p = y’(x) suy ra y” = p’, ta có phương trình − = ( − 1).
−1
……
iii) Vế phải (4.15) không chứa x, tức có dạng sau
y” = f(y’;y”) (4.18)
Cách giải:
′′
Đặt y’ = p(y) suy ra = = = , thay thế vào (4.18) được
.

phương trình = ( , ) có hàm chưa biết là p, biến độc lập là y và là phương

trình vi phân đã biết giải. Giả sử giải được nghiệm tổng quát là p = (y;C 1) = y’ rồi
giải tiếp phương trình này ta được tích phân tổng quát của (4.18).
Ví dụ 4.10:
2
Giải phương trình vi phân (y’) + 2yy” = 0.

98