Page 104 - Giáo trình Giải tích

Tuy nhiên để giải một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng với
vế phải là một hàm bất kỳ là điều không dễ dàng, nên ở đây chúng ta chỉ xét phương
trình tuyến tính không thuần nhất với vế phải có các dạng sau:

Dạng 1: f(x) = e x P (x)
n
-  không là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm ghiệm riêng của (4.21)
dạng Y=e x Q (x), Q n(x) là đa thức bậc n.
n
-  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng của (4.20)

dạng Y=xe x Q (x).
n
-  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng của (4.20)
2 x
dạng Y=x e Q (x).
n
Tính các đạo hàm cấp 1, cấp 2 và thay vào phương trình (4.21), dùng phương
pháp đồng nhất thức để tìm các hệ số của đa thức Q n(x).
Ví dụ 4.16:
Giải phương trình y’’ +2y’ +y =x.
Giải:
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất y’’ +2y’ +y =0.
2
Phương trình đặc trưng k +2k+1=0, có nghiệm kép k= -1, nghiệm tổng quát
-x
-x
của phương trình thuần nhất y=C 1e +xC 2e .
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất y’’ +2y’ +y =x.
0x
x
Vì vế phải có dạng e P n(x)= e x, 0 không phải là nghiệm của phương trình
đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng Y= e (Ax+B), Y’=A, Y’’=0; thay vào phương
0
trình không thuần nhất ta có 0+2A+Ax+B=x, suy ra A=1, B=-2. Vậy nghiệm riêng
của phương trình không thuần nhất là Y=x-2.
Bước 3: Kết luận
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là
-x
-x
y*= C 1e +xC 2e +x-2.
Dạng 2: Vế phải f(x) = e x [P (x)cosõx +P (x)sinõx]
m
n
-  ± iõ không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghiệm riêng của (4.21)
có dạng

Y =e x [Q (x)cosõx +R (x)sinõx] , với l = max(m,n).
l
l
-  ± iõ là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghiệm riêng của (4.21) có
dạng

Y =xe x [Q (x)cosõx +R (x)sinõx] , với l = max(m,n).
l
l
3x
Ví dụ 4.17: Giải phương trình: y’’-3y’+2y=e cosx.
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất y’’ +2y’ +y =0, có nghiệm tổng quát
2x
x
y=C 1e +C 2e .
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
3x
y’’-3y’+2y=e .cosx.

103