Page 100 - Giáo trình Giải tích

Giải:
2
Đặt y’=p, suy ra y”=p’, phương trình trên trở thành + 2 = 0

= 0
= 0
⇔ ( + 2 ) = 0 ⇔ [ ⇔ [
+ 2 = 0 + 2 = 0

= 0 = 0 = 0

⇔ [ = −2 ⇔ [ = −2 ⇔ [ = −2

b) Phương trình tuyến tính

Dạng phương trình
y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (4.17)
hay dạng
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (4.18)
trong đó p(x), q(x) là các hàm của biến độc lập x.
Phương trình (4.17) gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất,
phương trình (4.18) gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của
(4.17).
Khi p, q là các hằng số thì các phương trình vi phân (4.17), (4.18) gọi là các
phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng hay hệ số không đổi.

Một số định lý cơ bản
Định lý 4.2. Nếu y = y 1(x), y = y 2(x) là 2 nghiệm của (4.18) thì
y = C 1y 1(x) + C 2y 2(x) với C 1, C 2 là các hằng số tùy ý, cũng là nghiệm của (4.18).

1
Chú ý: Hai hàm y 1(x), y 2(x) gọi là độc lập tuyến tính nếu tỷ số ( ) khác
( )
2
hằng số, trái lại ta có 2 hàm phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 4.3. Nếu đã biết 1 nghiệm riêng y 1(x) của (4.18), ta có thể tìm 1 nghiệm
riêng y 2(x) của (4.18), độc lập tuyến tính với y 1(x), bằng cách đặt y 2(x) = u(x).y 1(x)
Định lý 4.4. (Về nguyên lý chồng chất nghiệm):
Cho phương trình vi phân không thuần nhất
y” + p(x)y’ + q(x)y = f 1(x) + f 2(x) (*)
Nếu y 1(x) là 1 nghiệm riêng của phương trình vi phân y”+p(x)y’+q(x)y=f 1(x),
và nếu y 2(x) là 1 nghiệm riêng của phương trình vi phân y”+p(x)y’+q(x)y=f 2(x) thì
y = y 1(x) + y 2(x) là 1 nghiệm riêng của (*).
Chú ý: Định lý 4.4 vẫn đúng khi vế phải của phương trình vi phân (*) là tổng
của 1 số hữu hạn hàm.
Định lý 4.5:
NTQ của (4.17) = NTQ của (4.18) + 1 NR của (4.17).

Phương pháp giải phương trình vi phân

y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (4.17)
(Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Xét phương trình (4.18), giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình là

99