Page 98 - Giáo trình Giải tích

= 0
⇔ [ ,
′
2 + = 2
Với z=0 ta có y=0 là một nghiệm riêng của phương trình.

′
Với 2 + = 2 đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đãã biết cách
giải, người đọc giải phần còn lại xem như bài tập.

f) Phương trình vi phân toàn phần
Dạng phương trình:
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
trong đó

=

với mọi (x,y) ∈ D.
Tích phân tổng quát

∫ ( , ) + ∫ ( , ) = ,
0
0 0
hoặc

∫ ( , ) + ∫ ( , ) = .
0
0 0

4.2. Phương trình vi phân cấp 2
4.2.1. Định nghĩa, khái niệm

Định nghĩa 4.2: Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng
F(x,y,y’,y”) = 0 (4.14)
hay dạng
y” = f(x,y,y’) (4.15)

a) Điều kiện tồn tại nghiệm
Định lý 4.1. Nếu hàm f(x,y,y’) liên tục trong miền nào đó chứa điểm (x 0,y 0,y’ 0)
thì tồn tại 1 nghiệm y = y(x) của phương trình (4.14), nghiệm ấy và đạo hàm của nó
lấy tại x = x 0 những giá trị cho trước y(x 0) = y 0, y’(x 0) = y’ 0 (các điều kiện này gọi là
các điều kiện đầu (hay điều kiện Cauchy), ký hiệu: y| x = x0 = y 0, y’| x = x0= y’ 0 , nếu
f f
thêm điều kiện , liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất.
y y′
b) Các khái niệm khác

Nghiệm tổng quát của phương trình (4.14) là mọi hàm y = (x;C 1;C 2) thỏa
mãn phương trình trên với C 1, C 2 là các hằng số tùy ý. Khi ta gán cho C 1 và C 2 những
giá trị cụ thể ta sẽ có nghiệm riêng (4.14).

97