Page 103 - Giáo trình Giải tích

3) Nếu  2 4 M −  0, phương trình đặc trưng có nghiệm phức 1,2 = ± , với =
2
√−( −4 )
− , = , nghiệm tổng quát của phương trình (*) là
2 2
t 
y e (C cos t C sin t )= C +  = 2  + 1 2 C e ( C 1 cos t  C 2 sin t )
t
 +
2 
1
2
C + 1 2 C 2 2 C + 1 2 C 2 2
t 
 +

= Ae (sin cos t cos sin t ) =  Ae sin( t   + 0 ).
t 
0
0
Nhận xét:
1) Không có dao động và y→0 khi t→.
2) Không có dao động và y→0 khi t→, nhưng chậm hơn trường hợp (i) vì
có thừa số C 1+C 2t.
t
3) Trường hợp này có dao động, biên độ là Ae vì <0 nên biên độ dần về 0
khi t→ nên đây là dao động tắt dần.
Khi chúng ta nghiên cứu các nội dung lý thuyết mạch, các môn học kỹ thuật
cơ sở có khái niệm “đáp ứng”, đáp ứng ở đây chính là nghiệm của phương trình vi
phân. Với các điều kiện trong một mạch nào đó đưa ra, tìm đáp ứng tức là giải
phương trình vi phân tìm nghiệm “đáp ứng” các điều kiện đó. Cái hay ở đây là
nghiệm của phương trình vi phân sẽ chỉ ra dạng sóng mà “đáp ứng” được các yêu
cầu bài toán. Quan sát bảng tổng hợp sau:
Trường Nghiệm Tính chất
hợp PTĐT Nghiệm tổng quát Dạng sóng của y
Tắt dần,
2 nghiệm
k2t
k1t
1 y=C 1e + C 2e không dao
thực, âm
động
phức liên
 +
t 

2 hợp y = e (C cos t C sin t ) Dao động tắt
2
dần
1
+i

Tắt dần tới
kt
kt
3 kép thực y=C 1e + tC 2e
hạn

Dao động,
ảo, liên
4 y C cos t C sin t  +  = biên độ không
hợp 1 2 đổi

b) Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng

y’’ + py’ + qy = f(x) (4.21)
Qui trình giải phương trình (4.21)
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất.
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất.
Bước 3: Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là
y*=y+Y.

102