Page 43 - Giao trinh DSTT

Chƣơng 4
KHÔNG GIAN VÉC TƠ

4.1. Khái niệm
4.1.1. Định nghĩa và các tính chất đơn giản

Định nghĩa 4.1. Giả sử là một tập hợp khác rỗng và là một trường. Ta
nói V là một không gian véc tơ trên trường K (hay là một K không gian trên tậpV)
có trang bị hai phép toán xác định bởi:
i) Một phép toán trên V ký hiệu theo lối cộng (+) sao cho với mọi x, y, z ta có:
1) .
.
3) Tồn tại phần tử θ sao cho ∈ .
4) Với mọi ∈ tồn tại ∈ sao cho .

ii) Một phép toán nhân ngoài với các phần tử của K xác định với mọi
∈ ∈ thỏa mãn các tiên đề sau:
5) ∈ ∈ .
6) ∈ ∈ .
∈ ∈ .

8) ∈ ; với 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Ví dụ 4.1.

1) Với K là một trường và , xét tập ∈

̅̅̅̅̅

, được xác định bởi: ∈ ∈

ta có:

Dễ thấy là một không gian véc tơ trên trường K.
2) Cho , ℂ là tập tất cả các ma trận cỡ , với
hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một vô hướng là một không gian
véc tơ trên trường K.
Một số tính chất
- ∈
- ∈ ∈
- ∈
- Nếu thì .
4.1.2. Không gian con
Định nghĩa 4.2. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K và W là một
tập hợp khác rỗng của V. Khi đó W là một không gian véc tơ con của V nếu nó thỏa
mãn 2 tính chất sau:
- ∈ ∈ .
- ∈ ∈ ∈

39