Page 46 - Giao trinh DSTT

Thật vậy, với ∈ , ta có ,

hơn nữa nếu thì nên

} độc lập tuyến tính. Vậy S là một cơ sở của không gian Cơ

sở này còn được gọi là cơ sở chính tắc của

2) Trong không gian cho các véc tơ

. Chứng minh là một cơ sở của

Thật vậy, lấy ∈ . Ta đã biết x là một tổ hợp tuyến tính

của khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm

( ) ( ) ( +

Dễ thấy rằng A là khả nghịch nên hệ trên có nghiệm duy nhất

( + ( +.

Điều này chứng tỏ rằng x có thể viết dưới dạng:

và nếu thì

Sự tồn tại của cơ sở
Định lý 4.4. Cho không gian véc tơ V trên trường K, hệ n véc tơ x 1, x 2, ..., x n
là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi véc tơ của V được biểu diễn duy nhất dưới
dạng:

4.2.3. Số chiều của không gian véc tơ
Định nghĩa 4.6. Không gian véc tơ V được gọi là không gian n chiều (n
nguyên ) trên trường K nếu trong V tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính và không
tồn tại quá n véc tơ độc lập tuyến tính.
Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n và ký hiệu là:
Chú ý: Nếu V có một cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì ta nói V là một không
gian véc tơ hữu hạn chiều, nếu V có một cơ sở gồm vô hạn phần tử thì ta nói V là
một không gian véc tơ vô hạn chiều.
Ví dụ 4.6.

Xét không gian , cứ 3 véc tơ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính và
bất kỳ 4 véc tơ thì phụ thuộc tuyến tính.

Vậy là một không gian 3 chiều,
4.2.4. Tọa độ của một véc tơ
Định nghĩa 4.7. Cho V là một không gian n chiều trên trường K và
là một cơ sở của V. Khi đó ta nói S là cơ sở được sắp thứ tự của V

nếu thứ tự các véc tơ được liệt kê trong S không thay đổi.
Ví dụ 4.7.
Ta thấy và

là hai cơ sở được sắp thứ tự khác nhau trong mặc dù .
42