Page 44 - Giao trinh DSTT

Ví dụ 4.2.
i) Trong không gian véc tơ V trên trường K, tập hợp và V là các không gian
véc tơ con của V và ta gọi các tập này là các không gian véc tơ con tầm thường của V.

ii) Không gian các véc tơ tự do trong không gian vật lý 3 chiều, các véc tơ
song song với một mặt phẳng cố định lập thành một không gian véc tơ con.
Chú ý: Hai điều kiện trong định nghĩa có thể được thay thế bằng điều kiện
dưới đây:

∈ ∈ ∈

a) Tổng của những không gian con
Định lý 4.1. Giả sử W 1, W 2 là các không gian con của một không gian véc tơ V.
Đặt:

∈ ∈ ∈ .

Khi đó là một không gian véc tơ con của V, được gọi là không gian

tổng của W 1và W 2.
Chú ý: Trong trường hợp , thì không gian tổng được viết là

được gọi là tổng trực tiếp của các không gian W 1 và W 2.

b) Giao của những không gian con
Định lý 4.2. Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V cũng là một
không gian con của V.
Chứng minh:
Xét ⋂ ∈ , trong đó là một họ không gian con của V. Vì

∈
∈ ∈ nên ∈ và do đó . Giả sử ∈ và ∈ (tùy ý).

Khi đó, ∈ ∈ nên ∈ ∈ suy ra ∈ . Vậy W

là một không gian con của V.
4.2. Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ

4.2.1. Sự độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính

a) Định nghĩa tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa 4.3. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K và v 1, v 2, ..., v n là các

véc tơ của V. Khi đó ∈ được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ v 1, v 2, ...,
v n nếu tồn tại bộ số ∈ sao cho:

Ví dụ 4.3.

1) Trong , cho 3 véc tơ v 1=(1,2,1), v 2=(1,1,0), v 3=(2,3,-1) và
v=(0,0,2). Khi đó v là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ , vì v = v 1+v 2-v 3.

2) Véc tơ θ luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của một họ bất kỳ các véc tơ v 1, v 2, ...,
v n, vì: θ =0.v 1+0.v 2+...+0.v n.

40