Page 45 - Giao trinh DSTT

b) Không gian sinh bởi một hệ véc tơ

Định lý 4.3. Nếu là các véc tơ của V trên trường K thì tập

W tất cả các tổ hợp tuyến tính của họ S được gọi là không gian véc tơ con của V
sinh bởi các véc tơ .

Chứng minh:
Ta chỉ cần kiểm tra 2 điều kiện trong định nghĩa 4.1.
Lấy

.

Và ∈ Khi đó:
∈

∈ .

c) Định nghĩa sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 4.4. Cho V là không gian véc tơ trên trường K, họ p véc tơ x 1, x 2, ..., x p
được gọi là độc lập tuyến tính nếu α 1x 1+ α 2x 2+... + α px p = thì α 1= α 2 α p= 0 với α 1,
α 2, ...α p ∈ K. Trong trường hợp ngược lại, họ p véc tơ được gọi là phụ thuộc tuyến
tính, có nghĩa tồn tại bộ số ∈ không đồng thời bằng 0 sao cho:

.

Ví dụ 4.4.

1) Trong không gian các véc tơ x 1= (0, 1, 1), x 2= (-1, 0, 1), x 3= (1, 1, 1) là độc
lập tuyến tính.
Thật vậy, hệ thức

cho ta: { suy ra

2) Trong không gian các véc tơ

là phụ thuộc tuyến tính, vì

d) Tính chất
1) Một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, ta lấy ra hệ p véc tơ bất kỳ từ hệ n véc
tơ trên thì p véc tơ đó cũng độc lập tuyến tính.
2) Một hệ p véc tơ x 1, x 2, ..., x p phụ thuộc tuyến tính thì với mọi hệ x 1, x 2, ..., x p, x p+1,
x p+2, ..., x n cũng phụ thuộc tuyến tính.
4.2.2. Cơ sở của không gian véc tơ
Định nghĩa 4.5. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K, và S là một
tập hợp các véc tơ trong V. Tập véc tơ S được gọi là một cơ sở của V khi thỏa:
i) S độc lập tuyến tính ;
ii) S sinh ra V, tức là < S > =V.
Ví dụ 4.5.

1) Cho là không gian véc tơ trên K có một cơ sở là:
}, với

41