Page 47 - Giao trinh DSTT

Định lý 4.5. Cho V là một không gian n chiều trên trường K và

là một cơ sở được sắp thứ tự của V. Khi đó, với mọi ∈ , tồn tại duy nhất một véc

tơ ∈ sao cho:

.

Khi đó, ta ký hiệu: [ ] ( , và ta gọi [ ] là tọa độ của véc tơ x trong cơ sở S.

Ví dụ 4.8.
1) Ta có là một cơ sở được sắp thứ tự trong

. Với ∈ ta có

{ ,

Vậy, . Do đó [ ] ( ).

2) Tọa độ đa thức trong cơ sở chính

tắc của [ ] là [ ] ( ,.

a) Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa 4.8. ChoV là một không gian n chiều trên trường K và
, là hai cơ sở được sắp của V. Ta nói

∈ là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’ nếu:

[ ] [ ] [ ] .

Nói cách khác, ma trận P là ma trận được xây dựng bằng cách nối tọa độ của
các véc tơ cơ sở của B’ theo cơ sở của B.
Ví dụ 4.9.

Cho các cơ sở trong , và với e 1= (1, 0), e 2 = (0, 1),

e 1’= (1, 1), e 2’= (2, 1). Tìm ma trận chuyển từ cở sở B sang B’.
Giải:
Trước hết ta có các biểu diễn:

Do đó [ ] * + [ ] * +.

Vậy ma trận chuyển từ cở sở B sang B’ là * +.

b) Đổi tọa độ giữa các cơ sở
Định lý 4.6. Họ B và B’ là hai cơ sở được sắp của V và P là ma trận chuyển từ cở sở
B sang B’. Khi đó, với mọi ∈ ta có [ ] [ ] . Hay [ ] [ ] .

43