Page 52 - Giao trinh DSTT

Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa: Cho V là không gian véc tơ trên trường K , họ p véc tơ

được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức:

Với ∈ , mà

Trong trường hợp ngược lại, họ p trên được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu
tồn tại bộ số ∈ không đồng thời bằng 0 sao cho:

.

Tính chất
1) Nếu một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, ta lấy ra hệ p véc tơ với thì
hệ p véc tơ đó cũng độc lập tuyến tính.
2) Nếu hệ p véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì với mọi họ

hệ các véc tơ cũng phụ thuộc tuyến tính.

Cơ sở của không gian véc tơ
Định nghĩa: ChoV là một không gian véc tơ trên trường K, và S là một tập
hợp các véc tơ trong V. Tập véc tơ S được gọi là một cơ sở của V khi thỏa:
i) S độc lập tuyến tính
ii) S sinh ra V, Tức là < S > =V.
Số chiều của không gian véc tơ
Định nghĩa: Không gian véc tơ V được gọi là không gian n chiều (n nguyên
) trên trường K nếu trong V tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính và không tồn tại
quá n véc tơ độc lập tuyến tính.
Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n và ký hiệu là:
Tọa độ của một véc tơ

Định nghĩa: Cho V là một không gian n chiều trên trường K và

là một cơ sở của V. Khi đó ta nói S là cơ sở được sắp thứ tự của V nếu thứ tự các
véc tơ được liệt kê trong S không thay đổi.
Định lý: Cho V là một không gian n chiều trên trường K và là

một cơ sở được sắp thứ tự của V. Khi đó, với mọi ∈ , tồn tại duy nhất một véc

tơ ∈ sao cho:

khi đó, ta ký hiệu: [ ] ( , và ta gọi [ ] là tọa độ của véc tơ x

trong cơ sở S.
Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa: Cho V là một không gian n chiều trên trường K và ,

là hai cơ sở được sắp của V. Ta nói ∈ là ma trận

chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’ nếu:
[ ] [ ] [ ] .

48