Page 57 - Giao trinh DSTT

- được gọi là một toán tử tuyến tính trên V.

Ví dụ 5.3.
1) Giả sử là ánh xạ không.
Khi đó ta có: ∈ ∈
Vì là ảnh duy nhất của mọi ∈ nên .

2) Ch o ánh xạ tuyến tính

Ta có: ∈ .

∈ ∈
Định nghĩa 5.3. Cho V và W là các không gian véc tơ trên trường K.
i) Một ánh xạ tuyến tính được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
ii) Ánh xạ tuyến tính được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh.

iii) Ánh xạ tuyến tính được gọi là đẳng cấu hay đẳng cấu tuyến
tính nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.

Mệnh đề 5.2. Cho ∈ . Khi đó f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Ker(f)=
Chứng minh:
Giả sử . Với mọi ∈ , nếu thì f(u) -f(v)=0.
Suy ra do đó ∈ hay . Vậy là đơn ánh.
Nếu là đơn ánh thì từ suy ra , nên .
Vậy Ker( f )=
Định lý 5.1. Cho là ánh xạ tuyến tính. Khi đó Ker( f ) và Im( f ) lần
lượt là các không gian con của V và W.

Chứng minh:
Xét Im(f). Lấy bất kỳ ∈ và ∈ Khi đó tồn tại ∈

sao cho Ta có

∈ .

Vậy Im(f) là không gian con của W.
Tương tự, ta cũng chứng minh được là không gian con của V.
Định lý 5.2. Cho V và W là các không gian véc tơ trên trường K và
là một đơn cấu. Nếu là hệ các véc tơ độc lập tuyến tính của V, lúc

đó là hệ các véc tơ độc lập tuyến tính của W.

5.2.2. Liên hệ giữa số chiều của ảnh, hạt nhân và không gian nguồn
Định lý 5.3. Cho ∈ , khi đó nếu V là một không gian véc tơ hữu
hạn chiều thì Im( f ) và Ker( f ) cũng hữu hạn chiều, đồng thời
dim(Im( f ))+ dim(Ker( f )) = dimV
Ví dụ 5.4.

1) Cho ánh xạ tuyến tính

Với lần lượt là các không gian 3 chiều và một chiều thông thường trên
trường số thực .
53