Page 61 - Giao trinh DSTT

∈

Do đó có một cơ sở và

5.4.3. Chéo hóa ma trận
Định nghĩa 5.6. Cho V là một không gian véc tơ n chiều trên K và f là một
toán tử tuyến tính trên V có ma trận biểu diễn đối với cơ sở B nào đó là A. Khi đó
đa thức đặc trưng của A cũng được gọi là đa thức đặc trưng của , ký hiệu là .

Ví dụ 5.9.

Cho là toán tử tuyến tính trên được xác định bởi:

Ma trận biểu diễn trong cơ sở chính tắc là:

[ ] [ ]

Nên đa thức đặc trưng của là:

| |

Định nghĩa 5.7. Cho V là một không gian véc tơ n chiều trên K và f là một
toán tử tuyến tính trên V. Khi đó λ∈K được gọi là một trị riêng của f nếu tồn tại
véc tơ x ≠ 0 sao cho f(x) = λx (*).
Véc tơ x thỏa mãn hệ thức (*) được gọi là một véc tơ riêng của ứng với trị
riêng λ
Ví dụ 5.10.
Cho toán tử tuyến tính được xác định bởi Ta

có nên λ=3 là một trị riêng của f và x = (1,0) là một véc tơ riêng
của ứng với trị riêng λ=3.
Nhận xét: Nếu x là một véc tơ riêng cho trước của thì giá trị riêng λ tương
ứng với nó được xác định là duy nhất.

Định nghĩa 5.8. Cho ∈ . Ta nói A chéo hóa được nếu tồn tại ma trận

∈ khả nghịch sao cho là ma trận chéo. Khi đó ta nói làm chéo

hóa hay chéo hóa được bởi
Vậy, chéo hóa được nếu đồng dạng với ma trận chéo.

Định lý 5.8. Cho ∈ với đa thức đặc trưng là và các giá trị

riêng là λ 1, λ 2, ..., λ r. Đặt E i = E(λ i) là không gian riêng của ứng với giá trị riêng
λ i. Khi đó các điều sau đây là tương đương:

i) chéo hóa được.

ii) và

iii) Nếu là một cơ sở của thì là

một cơ sở của
57