Page 64 - Giao trinh DSTT

5.4.4. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

Định nghĩa 5.9. Cho ma trận đối xứng ∈ . Nếu tồn tại ma trận trực giao

sao cho là ma trận chéo thì ta nói A là chéo hóa trực giao được và P là
ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A.
t
Chú ý: - Ma trận vuông P gọi là ma trận trực giao nếu P P= I.
- Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu a ij = a ji,

Định lý 5.9. Cho là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để chéo
hóa trực giao được là có n véc tơ riêng trực chuẩn.
Thuật toán chéo hóa một ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao
Để chéo hóa một ma trận đối xứng ∈ bằng một ma trận trực giao ta

thực hiện theo các bước sau.

Bƣớc 1: Tìm một cơ sở của gồm toàn những véc tơ riêng của ma trận đối xứng .
Bƣớc 2: Xây dựng cơ sở trực chuẩn từ cơ sở bằng quá trình trực giao
hóa Gram-Schmidt.
Bƣớc 3: Lập ma trận P mà các cột là các véc tơ cơ sở xây dựng ở bước 2.

Gọi là cơ sở chính tắc trong và . Khi đó là ma trận

trực giao cần tìm và

Ví dụ 5.12.
Cho ma trận đối xứng:

( +

Ta chéo hóa bởi một ma trận trực giao
Giải:

Bƣớc 1: Tìm một cơ sở của là các véc tơ riêng của ma trận
Ta có đa thức đặc trưng của là:

| |

Nên A có hai trị riêng là

+) Với trị riêng ta có:

( + ( + ( +

Có , nên có một cơ sở là .

+) Với trị riêng (bội 2), ta có:

( + ( + ( +

60