Page 67 - Giao trinh DSTT

Định lý: Cho ∈ với đa thức đặc trưng là và các giá trị riêng

là λ 1,..., λ r. Đặt là không gian riêng của ứng với giá trị riêng λ i. Khi

đó các điều sau đây là tương đương:
i) chéo hóa được;

và

iii) Nếu là một cơ sở của thì là

một cơ sở của
Hơn nữa, nếu là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở thì

Trong đó i xuất hiện lần,

Tích được gọi là dạng chéo của
Hệ quả: Nếu ma trận ∈ có đúng n trị riêng phân biệt thì chéo

hóa được.
Thuật toán chéo hóa ma trận
Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng của từ đó ta tìm các giá trị riêng của .
Nếu không có trị riêng nào thì không chéo hóa được và dừng lại, ngược lại ta
chuyển sang bước 2.
Bƣớc 2: Giả sử A có r trị riêng phân biệt λ 1,..., λ r với số bội tương ứng
. Nếu thì không chéo hóa được và dừng, ngược lại ta

chuyển sang bước 3.
Bƣớc 3: Với mỗi trị riêng λ i, ta tìm cơ sở của không gian riêng , từ đó

suy ra . Nếu thì không chéo hóa được và dừng,

ngược lại ta chuyển sang bước 4.
Bƣớc 4: Lập ma trận với các cột của lần lượt là các véc tơ cơ sở của các

không gian riêng Khi đó làm chéo hóa ma trận và là

một dạng chéo của với các phần tử trên đường chéo chính là các trị riêng với các
véc tơ riêng tạo nên trị riêng xuất hiện trên đường chéo chính lần.

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng
Định nghĩa: Cho ma trận đối xứng ∈ . Nếu tồn tại ma trận trực giao

sao cho là ma trận chéo thì ta nói A là chéo hóa trực giao được và P là ma
trận làm chéo hóa trực giao ma trận A.
Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để chéo hóa
trực giao được là có n véc tơ riêng trực chuẩn.
Thuật toán chéo hóa một ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao
Để chéo hóa một ma trận đối xứng ∈ bằng một ma trận trực giao ta

thực hiện theo các bước sau:

Bƣớc 1: Tìm một cơ sở của gồm toàn những véc tơ riêng của ma trận đối xứng .
Bƣớc 2: Xây dựng cơ sở trực chuẩn từ cơ sở bằng quá trình trực giao
hóa Gram-Schmidt.
Bƣớc 3: Lập ma trận P mà các cột là các véc tơ cơ sở xây dựng ở bước 2.

Khi đó là ma trận trực giao cần tìm và

63