Page 58 - Giao trinh DSTT

Ta có ∈ . Vì do đó:
nên và như vậy .

5.3. Các phép toán trên tập các ánh xạ tuyến tính

5.3.1. Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính
Định lý 5.4. Cho các ánh xạ ∈ tương ứng với các ma trận
( ) ( ) . Khi đó,

i)

ii) Với ∈

là các ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh:
Xét ánh xạ Với mọi ∈ , ∈ ta có:

Vậy là ánh xạ tuyến tính. Một cách tương tự ta cũng chứng minh
được kf là ánh xạ tuyến tính.
Nhận xét:
- Vì ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính nên có ma trận C=A+B.
- Tập hợp với phép cộng ánh xạ là một nhóm giao hoán.
5.3.2. Phép hợp thành của ánh xạ tuyến tính
Định lý 5.5. Cho là các không gian véc tơ trên trường . Giả sử
và là các ánh xạ tuyến tính. Khi đó ánh xạ hợp thành
là ánh xạ tuyến tính.

Chứng minh:
Giả sử ∈ ta có:

Mặt khác, ∈ ta có
( ) ( ) ( )

Vậy là ánh xạ tuyến tính.

Định lý 5.6. Cho là các không gian véc tơ trên trường . Giả sử
và là các ánh xạ tuyến tính. Khi đó:
i) ;

ii)

iii) Nếu ∈ là một vô hướng thì

54