Page 56 - Giao trinh DSTT

Chƣơng 5

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Sự xác định một ánh xạ tuyến tính

5.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 5.1. Cho V, W là hai không gian véc tơ trên trường K. Ánh xạ

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:
i) ∈
ii) ∈ ∈
Nhận xét: Các điều kiện i) và ii) trong định nghĩa trên có thể được thay bằng
điều kiện sau: ∈ ∈

Ví dụ 5.1.

1) Ánh xạ
.
là một ánh xạ tuyến tính.
2) Cho

.
2
2 2
Khi đó, f không phải một ánh xạ tuyến tính, vì f(λx)=λ x ≠ λf(x)= λx .
5.1.2. Sự xác định một ánh xạ tuyến tính
Mệnh đề 5.1. Giả sử là một cơ sở được sắp của V và

là n véc tơ tùy ý trong W. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến

tính thỏa

Ví dụ 5.2.

Giả sử (hay ∈ ) là một ánh xạ tuyến tính thỏa:
f(1,0)= (3, 4); f(0,1)= (-2,5).
Khi đó, f(x,y)= xf(1,0)+yf(0,1)= x(3,4) +y(-2,5)= (3x-2y, 4x+5y).
5.2. Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
5.2.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 5.2. Cho V và W là các không gian véc tơ trên trường K và
là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, tập tất cả các phần tử v∈V sao cho
được gọi là hạt nhân của .
Ký hiệu là Ker( f ), vậy
∈ .
Tập hợp tất cả các phần tử ∈ sao cho tồn tại phần tử ∈ thỏa

được gọi là ảnh của f.
Ký hiệu : Im ( f ), vậy
∈ ∈

Chú ý: - Tập các ánh xạ tuyến tính được ký hiệu là: ∈

52