Page 80 - Giao trinh DSTT

6.3.3. Định lý quán tính
Trong mỗi dạng toàn phương cho trước trên không gian véc tơ n chiều có

thể có nhiều dạng chính tắc khác nhau. Bởi trong quá trình đưa dạng toàn phương
về dạng chính tắc ta có thể sử dụng nhiều phép đổi biến khác nhau.
Khi đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, nếu ta gọi r là số các số hạng
mang dấu ‘+’ và p là số các số hạng mạng dấu ‘-’ của dạng toàn phương chính tắc
thì r và p là không thay đổi. Trong đó r được gọi là chỉ số quán tính dương, p
được gọi là chỉ số quán tính âm và hiệu r–p được gọi là ký số của dạng toàn
phương.

TÓM TẮT NỘI DUNG

1. Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính
Định nghĩa: Cho V là một không gian véc tơ n chiều trên . Ánh xạ
được gọi là một dạng song tuyến trên V nếu tuyến tính theo từng biến
tức là:

∈ ∈
và

∈ ∈
Nhận xét:
- Dạng song tuyến được gọi là đối xứng nếu:
∈
- Dạng song tuyến được gọi là phản đối xứng nếu:

∈

Ma trận của dạng song tuyến tính
Giả sử là một dạng song tuyến trên V và là một cơ sở

được sắp của V. Khi đó với hai véc tơ u, v bất kỳ thuộc V, tồn tại các số thực
sao cho ∑ và ∑ . Khi đó

∑ ∑

Đặt ( ), ta được:

∑ ∑

Ma trận ( ) xác định như trên được gọi là ma trận của dạng song

tuyến tính trong cơ sở B. Khi đó ta có thể viết dạng song tuyến tính dưới dạng
ma trận như sau:

[ ] [ ]

76